무리수의 세계

 

자연수는 말 그대로 양을 측정하는 가장 자연스럽고 첫째 가는 수단이다. 그러나 생수 한 병과 마시다 만 병이 있다면 자연수로는 셀 수 없다. 이런 양을 측정하기 위해서는 확실히 분수를 필요로 한다. 분수를 사용하면 우리는 많은 경우에 필요로 하는 정확도까지 양을 측정할 수 있다. 그러나, 분수로는 아무리 해도 정확하게 측정할 수 없는 양이 있다. 다음 예를 생각해 보자.

그리스에서 모든 수는 유리수라고 생각했다. 이 때, 어떤 결론이 나오는지 살펴보자. 불행하게도, 이 경우에 큰 문제가 생긴다. 피타고라스(BC 580 - BC 500)와 그를 따르는 사람들은 대부분이 수학적인 위대한 생각들을 찾아내는 학파를 형성하였는데, 그들의 모임은 비밀스러운 것이었다. 즉, 그들이 알아낸 수학적인 개념은 그들 사이에만 공유하였다.

기하학의 보배인 피타고라스 정리는 우리가 잘 알고 있다. 긴 변이 일 때, 이라는 것이다. 피타고라스 정리를 발견한 후에 그들은 직각을 낀 두 변이 각각 1인 직각삼각형을 생각하였다. 따라서, 이 삼각형의 빗변의 길이를 라 하면 이다. 따라서, 이고, 이다.

이제 피타고라스 학파에서 믿었던 것처럼 가 유리수라고 하자. 그러면

(, 는 서로 소)

로 나타낼 수 있다. 이 때, , 는 둘 다 짝수일 수는 없다. 왜냐하면, 둘 다 짝수이면 서로소가 아니기 때문이다. 양변을 제곱하면

.

이 식의 양변에 을 곱하면

이다.

좌변이 2의 배수 즉, 짝수이므로 우변도 짝수이다. 그러나, 우변 이 짝수이면 도 짝수이다. 그러므로, 으로 나타난다. 이것을 위의 식에 대입하면

.

양변을 2로 나누면

이다. 이제 가 짝수인 것과 같은 이유로 도 짝수이다. 따라서, 는 모두 짝수이고, 는 공약수 2를 가졌다.

그런데, 처음에 가 서로소라고 하였으므로 이런 일이 있을 수 없다.  그러므로, 가 유리수라는 가정이 모순이다.

따라서, 는 유리수가 아닌 무리수이다.

 

이 중명법은 BC 300년경 유클리드가 쓴 책에 나와 있다. 비슷한 시기에 아리스토텔레스(BC384 - BC 322)도 이 증명을 알고 있었다는 증거가 있다. 물론 누가 처음 증명하였는지는 알 길이 없다.

피타고라스 학파에서는 이런 결과에 매우 당황해 했으며 이 사실을 그들만의 비밀로 하였다. 그들 학파 중 한 사람인 히파수스가 처음으로 무리수를 발견한 사람으로 알려져 있다. 그런데, 이 무리수의 발견은 그들 피타고라스 학파에게는 도저히 받아들일 수 없는 충격적인 일이었다. 그래서 그들은 이런 수들을 하르곤이라고 이름 붙이고는 비빌로 하였다. 하르곤이란 비이성적(irrational)이라는 뜻이며 지급도 무리수를 영어로 irrational number라고 한다. 이 무리수의 발견으로 피타고라스 학파는 큰 어려움을 겪었으며, 히파수스는 지중해 너머로 추방되었고 결국 그 바다에서 죽었다. 그 당시의 상황이었으며 오늘날은 무리수의 세계와 수학,과학의 신비로운 세계를 많이 아는 사람은 우대 받는다.

수학자들은 한 가지 사실을 알면 곧바로 그 사실을 사용하여 새로운 사실을 찾아내려고 노력한다. 생각을 끝없이 하다보면 처음에 기대하지 않았던 것까지 알게 될 수도 있다. 예를 들면, 앞에서 가 무리수라는 증명 방법은 무리수임을 증명하는데 그대로 이용될 수 있다.

 

다른 무리수

이외에도 많은 무리수가 있다. 예를 들면, 도 무리수이다.

중요한 무리수 중에 원주율 가 있다. 예로부터 의 근사값으로 를 사용해 왔다. 그리스 수학자들이 많이 연구하였고, 이집트에서는 BC 1650년에 의 근사값으로 을 사용하였다. 약 500년 후에는 인도의 수학자들이 의 근사값 을 찾아내었다. 그러나, 가 무리수라는 사실은 1761년에야 증명되었다. 처음 증명한 사람은 Johann Lambert이다.

그러나, 이 모든 것이 무용지물이 될 뻔한 일이 있었으니, 1897년 미국 인디아나 주에서는 의 값이 4라는 것을 선언하고 모든 의무교육에 사용하기로 하는 법안이 나왔다. 다행히도, 주 의회에서 이 법안은 통과되지 않았다.

 

유리수일까 무리수일까?

앞에서 예를 든 것 이외에 일반적으로 어떤 수가 유리수이거나 또는 무리수라는 것을 증명하는 일은 쉽지 않다. 예를 들어,

          ,  ,  

는 유리수인지 아니면 무리수인지 아직 아무도 모른다. 모두 무리수인 것처럼 보이기도 하다. 그러나, 아직 아무도 증명하지 못하였다.

이제 유리수가 아닌 무리수가 있다는 것을 알았다. 실제로 모든 실수는 유리수와 무리수로 나누어 볼 수 있다.

 

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