마방진(magic square)

 

1부터 까지의 정수를 열의 정사각형 모양으로 배열하여 가로·세로·대각선의 합이 전부 같아지도록 한 것을 마방진이라고 한다.

방진 또는 마법진이라고도 하는데, 이것은 영어의 magic square를 번역한 말이다. 정사각형의 한 변에 배열된 수의 개수 에 따라서 방진, 즉 3방진, 4방진, … 등이라 한다. 이 때의 합은 3방진에서 15, 4방진에서는 34, 5방진에서는 65가 되며, 방진에서는 이 된다.

방은 정사각형, 진(陣)은 나열한다는 뜻으로 중국에서는 3,000년 전부터 알려져 있었다. 전설에 의하면, 우(禹)가 낙수(洛水)의 치수공사를 할 때 나타난 거북의 등 껍데기에 새겨진 그림이 있었다고 하는데, 이것을 아라비아 숫자를 사용하여 나타내면 아래 그림과 같은 3방진이다.

4

9

2

3

5

7

8

1

6

 

이 그림을 낙도(洛圖)·하도(河圖)·낙서(洛書) 등이라 하였는데, 이것과 오행설(五行說)을 결부시켜 일백수성(一白水星)이라거나 사록목성(四綠木星)이라 하여 운세 판단에 응용하기도 했다.

중국에서 마방진을 설명한 책은 송(宋)나라의 《양휘산법(揚輝算法)》(1275)이 최초인데, 여기에는 3방진부터 8방진까지 취급되고 있다. 또, 명(明)나라의 정대위(程大位)가 지은 《산법통종(算法統宗)》(1593)에는 3방진부터 10방진까지 실려 있다.

우리나라에서는 조선 숙종 때 영의정을 지낸 수학자 최석정(崔錫鼎:1646∼1717)이 절묘한 방진을 창안하여 그의 저서 《구수략(九數略)》에 실었다. 이 책에 있는 방진은 l~81까지의 정수를 중복없이 배열한 것으로, 큰 사각형 전체로도 가로, 세로의 합이 같고, 큰 사각형을 9개의 사각형으로 나누면 이 작은 정사각형도 역시 가로, 세로의 합이 같은 마방진을 이루고 있다.

50

18

55

70

5

48

3

76

44

66

31

26

29

81

13

52

11

60

7

74

42

24

37

62

68

36

19

54

67

2

65

25

43

28

23

72

59

21

43

9

41

73

15

62

47

10

35

78

49

57

17

80

39

4

79

6

38

30

69

34

32

64

27

30

71

22

45

1

77

16

51

56

14

46

63

58

53

12

75

8

40

 

서양의 마방진은 중국 것에 비해 시대적으로 뒤떨어지지는 않은 것으로 알려져 있는데, 유럽에서는 한때 점성술의 대상이 되었으며, 마방진을 새긴 부적 등이 만들어지기도 했다. 독일의 기하학자이며 화가로 유명한 A.뒤러의 동판화 (멜랑콜리아)(1514)에 그려진 마방진이 유명한데, 이것은 유럽의 마방진으로서는 가장 오래 된 부류에 속하는 4방진이다.

16

3

2

13

5

10

11

8

9

6

7

12

4

15

14

1

이 마방진에서 아래쪽 가운데 15와 14는 판화의 제작 연도를 나타낸다.

이후 P.페르마가 연구한 것과 오일러가 연구한 것 등이 있다. 현재도 동서양에 걸쳐 마방진을 연구하는 사람이 많다. 마방진을 만드는 방법은 여러 가지로 고안되어 있으며, 단 한 가지 방법으로 모든 마방진을 만들 수는 없다. 그 중 이론적으로 가장 생각하기 쉬운 것은 방진인데, 이것은 진법의 기수법(記數法)을 쓰는 것이다.

일정한 규칙에 따라 네모진 틀에서 마방진을 만들 때는 규칙대로 수를 써넣으면 되지만, 홀수방진과 짝수방진은 만드는 규칙이 다르다. 각 마방진을 얼마만큼 만들 수 있는지는 확실하지 않으나 주어진 마방진을 회전시키거나 뒤집어보아 숫자의 배열이 같은 것을 같은 마방진으로 세면 3방진은 하나밖에 없으나, 4방진의 종류는 무려 880가지나 있다. 1693년 B.프레니클이 880개의 마방진을 전부 만들어 발표한 이래 많은 사람들이 여러 가지방법으로 그것들을 확인하였다.

마방진에는 또 소수만으로 이루어진 소수방진을 비롯, 입체방진·뺄셈방진·곱방진·오일러방진 등이 있다.

【홀수방진을 만드는 법】 이 홀수인 경우 마방진을 다음과 같은 방법으로 만들 수 있다.
⑴ 첫 행(맨 윗줄) 중앙에 1을 쓴다.
⑵ 오른쪽 위의 대각선 방향으로 2, 3, 4,…까지 차례로 써 나간다. 이 때,
⑶ 수를 쓸 자리가 위쪽 밖으로 나가버리면 그 수를 쓸 자리의 열의 맨 아래 칸에 쓴다.
⑷ 수를 쓸 자리가 오른쪽 밖으로 나가버리면 그 수를 쓸 행의 왼쪽 끝 칸에 쓴다
⑸ 오른쪽 위에 쓸 자리에 이미 숫자가 들어 있거나 오른쪽 위의 구석에 왔을 때는 올라가지 말고 바로 아래로 내려가서 쓴다.

【짝수방진을 만드는 법】 짝수방진을 만드는 일반적인 규칙은 없으나 4방진을 만드는 방법을 소개하면 다음과 같다.
⑴ 먼저 아래의 표와 같이 1~16까지를 차례로 써넣는다.
⑵ 대각선을 그어 대각선 위에 있는 수를 표의 중심에 대하여 점대칭의 위치에 있는 것끼리 바꾸어 놓는다.

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

 

16

2

3

13

5

11

10

8

9

7

6

12

4

14

15

1

 

 

위로