아름다운 수의 세계

7의 아름다움

의 근사값으로 사용되는 이며 은 다음과 같은 재미있는 성질이 있다.

먼저 다음 계산을 하여 보자.

 

       

      

      

      

      

계속 계산할 수 있지만 여기서 멈추고, 계산한 값 중 두 자릿 수 14, 28, 56 을 이어서 쓰면 142856이 된다. 그 다음의 112는 세 자리를 차지하므로 56의 6에 112의 1을 합하여 57로 만들면 142857이 된다. 이제 복잡해지므로 그만하고 142857을 소수점 아래에 반복시키면 순환소수 을 얻는다. 이것이 바로 이다. 세 자릿수를 두 자리씩 내려서 계속 더해가면 같은 결과가 나온다.

142857의 여섯 숫자 중 가장 작은 것이 1이고, 그 다음이 2이다.

이제 2부터 차례로 285714를 반복하면 이다.

마찬가지로 그 다음 숫자인 4부터 차례로 428571을 반복하면 이다.

이렇게 하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

      

      

      

      

      

      

이 얼마나 아름다운가?

 

의 순환마디 142857과 관련한 다른 성질도 재미 있다.

1부터 6까지 곱하여 보자.

142857 X 1 = 142857

142857 X 2 = 285714

142857 X 3 = 428571

142857 X 4 = 571428

142857 X 5 = 714285

142857 X 6 = 857142

똑같은 숫자가 자릿수만 바꿔서 나타나는데 사실은 위의 부터 까지 순환 소수를 보면 이 성질을 포함하고 있음을 알 수 있다.

이제 이 숫자의 또 다른 성질을 살펴보자.

142857 X 7 = 999999

142 + 857 = 999

14 + 28 + 57 =99

142857을 제곱을 하면...20408122449가 나오는데,

앞의 20408과 122449를 떼어서 더하면 142857 자기 자신이 나온다

 

아래의 여러 가지 결과도 아름답다.

 

곱의 아름다움(1)

                  1 1         = 1

                 11 11        = 121

                111 111       = 12321

               1111 1111      = 1234321

              11111 11111     = 123454321

             111111 111111    = 12345654321

            1111111 1111111   = 1234567654321

           11111111 11111111  = 123456787654321

          111111111 111111111 = 12345678987654321

 

곱의 아름다움(2)

          12345679 1 9 = 111111111

          12345679 2 9 = 222222222

          12345679 3 9 = 333333333

          12345679 4 9 = 444444444

          12345679 5 9 = 555555555

          12345679 6 9 = 666666666

          12345679 7 9 = 777777777

          12345679 8 9 = 888888888

          12345679 9 9 = 999999999

 

곱과 합의 조화(1)

                       1 9 + 2 11

                      12 9 + 3 111

                     123 9 + 4 1111

                    1234 9 + 5 11111

                   12345 9 + 6 111111

                  123456 9 + 7 1111111

                 1234567 9 + 8 11111111

                12345678 9 + 9 111111111

 

곱과 합의 조화(2)

                       1 8 + 1 9

                      12 8 + 2 98

                     123 8 + 3 987

                    1234 8 + 4 9876

                   12345 8 + 5 98765

                  123456 8 + 6 987654

                 1234567 8 + 7 9876543

                12345678 8 + 8 98765432

               123456789 8 + 9 987654321

 

곱과 합의 조화(3)

                      1 = 11

                    1+3 = 22

                  1+3+5 = 33

                1+3+5+7 = 44

              1+3+5+7+9 = 55

           1+3+5+7+9+11 = 66

        1+3+5+7+9+11+13 = 77

     1+3+5+7+9+11+13+15 = 88

                         

 

곱과 합의 조화(3)

                    

                 

             

          

       

                          

 

이런 관계도

                                             1 = 11

                                         1+2+1 = 22

                                     1+2+3+2+1 = 33

                                 1+2+3+4+3+2+1 = 44

                             1+2+3+4+5+4+3+2+1 = 55

                         1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 66

                     1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 = 77

                 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1 = 88

             1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 99

 

제곱수의 조화(1)

       왼쪽과 오른쪽을 비교해 보자.

      1212 = 144        2121 = 441

      1313 = 169        3131 = 961

    102102 = 10404    201201 = 40401

    103103 = 10609    301301 = 90601

    112112 = 12544    211211 = 44521

    113113 = 12769    311311 = 96721

    122122 = 14884    221221 = 48841

 

제곱수의 조화(2)

                

           

           

           

          

           

          

          

         

 

이것들은 그래도 쉽게 알 수 있는 것이다, 그러나 다음 것들은?

 

제곱과 세제곱

 

곱셈과 덧셈은 같다?

          

          

          

          

          

          

                    

 

곱셈과 뺄셈도 같다?

          

          

          

          

          

          

                     

 

어떻게 약분하지?

          는 기약분수로 얼마인가?

다음을 보면 그 해답을 알 수 있다.

            

            

            

            

            

            

                     

 

다음과 같은 것도 있다.

          

          

          

          

                     

 

 수의 세계는 정말 아름답구나.