모든 집합의 집합?

 많이 알수록 많은 것을 모른다는 것을 알게 된다 . . .

집합이란

 

  우리 반에서 컴퓨터 게임을 잘 하는 학생들은 생각하기에 따라서 그 대상이 많을 수도 있고 적을 수도 있으므로 그 대상이 분명하지 않다. 그러나, 우리학교 1학년 전체 학생들이나 우리 반 학생들의 모임은 그 범위가 분명하다.

  이와 같이 어떤 조건에 의하여 그 범위가 분명하게 정해지는 모임을 집합이라 하고, 그 집합을 이루는 대상 하나 하나를 그 집합의 원소라고 한다.
  일반적으로 가 집합 의 원소일 때, 는 집합 에 속한다고 하며, 기호로
           
와 같이 나타낸다.
또, 가 집합 의 원소가 아닐 때, 에 속하지 않는다고 하며, 기호로
           
와 같이 나타낸다

이와 같이 집합은 그 원소가 명확하다. 즉, 주어진 집합에 대하여 어떤 대상이 그 집합의 원소인지 아닌지 분명히 정해진다.

 

러셀의 역리 (The Russell Paradox)

이렇게 우리는 집합에 대하여 어느 정도 안다고 할 수 있다.

정말 그럴까?

이제 집합의 정의를 명확하게 안다고 가정하고 다음과 같은 집합을 생각해 보자.

모든 집합의 집합 가 존재한다고 가정하자.

조건제시법으로 이다.

이제

         

즉, 을 자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합 전체의 집합이라 두고

          

즉, 를 자기 자신을 원소로 갖는 집합 전체의 집합이라 두면 는 공통부분이 없다. 즉, 서로소이다.

이 때, 집합 자신의 원소일까 아닐까?

의 원소라면 즉, 이라면 이므로 의 정의에 따라서 이고,

          

이다.

그런데, 이라면 의 정의에 따라,

          

이다. 따라서,

           ⇔ 

이다.

그러므로, 모든 집합의 집합은 존재하지 않는다.

"아무 것도 모든 것을 포함하지 못한다(Nothing contains everything.)" 수학자 Paul R. Halmos 가 한 말이다.

 

이렇게 논리적으로만 따지지 말고, 러셀이 만들었던 참인지 거짓인지 혼란스러운 예를 아래에서 생각해 보자.

참도 거짓도 될 수 없는 명제

 

러셀(Bertrand Russell, 1872-1970) 영국 Trelleck, Wales에서 태어나서 4살이 되기 전에 양친을 모두 잃었다. 1890년 Cambridge University, Trinity College에 입학하여 3년간 수학공부를 한 끝에 교육을 받은 것은 틀린 것이 수두룩하다고 결론 짓고는 수학책을 모두 팔아 버리고 철학 공부로 방향을 바꾸었다. 1910년에서 1913년 사이에 Alfred Whitehead와 함께 쓴 불멸의 저서 세 권 수학의 원리(Principia Mathematica)에서 집합론을 재구성함으로써 역리를 제거하고자 노력하였다. 191년에는 "나는 지적 세계의 테두리에 서서 저 너머의 무지를 통찰함으로써 남들보다 좀 더 많은 것을 알기 원하며 인류에게 얼마간의 지혜를 상기시키기를 원한다."라고 썼다. 영국 왕으로부터 Merit훈장을 받았고, 1950년 노벨 문학상을 받기도 했다. 만년에는 핵전쟁을 반대하는 여러 시위 운동을 인도하기도 하였다.

 

    러셀에 대하여 더 많이 알아보자.

http://user.chollian.net/~bypark/bertrand.html

http://my.dreamwiz.com/reality/data/philosophy_netizenpower_russell.htm

 

수학자 및 수학사 관련 사이트

 

 

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