재미있는 의 세계

박태훈 교수

국민대학교 수학과

 

3월 14일은 PiDay

 에 대하여 알아보자.

를 포함하는 계산식:

반지름 인 원의 넓이는 , 둘레는

 

반지름 인 구의 부피는 , 겉넓이는

 

 

를 구하는 계산식

 

라이프니츠의 계산식

         

 

오일러의 계산식

        

                                          

 

          

                                        

 

뉴턴의 계산식

        

 

샤프의 계산식

        

 

다음과 같은 근사식을 사용하면 계산을 더욱 빨리 할 수 있다.

   

   

   여기서 값에 을 차례로 대입한 값을 모두 합한다는 뜻이다.

 

최근에는 더욱 빠른 계산 방법이 나와 있다

 의 근사값

고대로부터 에 대한 근사값으로 다음과 같은 값들이 사용되어 왔다.

  3

  3.14

  

  

  

  

  

  

원주율의 역사

 

BC2000년 경에 바빌로니아에서는 을 사용하였고, 이집트에서는 을 사용하였다.

BC 12세기 중국에서는 3을 사용하였고,

구약성서에서도 3을 사용하였다.

 

원주율을 처음으로 자세히 연구한 사람은 그리스의 수학자 아르키메데스이다.

 

아르키메데스는 원주는 원에 내접하는 정다각형의 둘레의 길이보다 크고 원에 외접하는 정다각형의 둘레의 길이보다 작다는 데서 착안하여 를 계산하였다. 정다각형의 면의 수를 늘려 가면, 정다각형은 점점 원에 가까워지고, 그 둘레의 길이는 원주에 가까워진다. 이런 방법으로 아르키메데스는 정 96각형까지 만들어 원주율이 223/71보다는 크고, 22/7보다는 작다는 것을 알아내었다.

 

16세기 독일의 수학자 루돌프는 정 각형으로부터 원주율을

    3.14159265358979323846264338327950288

과 같이 소수점 아래 35자리까지 계산하였다. 루돌프는 원주율을 계산하는 데 그의 일생을 바쳤고, 죽을 때에도 자신이 계산한 원주율의 값을 묘비에 새겨달라고 유언을 하였다고 한다.

 

 중국에서는 3세기 중엽에 유휘라는 학자가 이와 비슷한 생각으로 정192각형까지 계산하고,

실제로 사용할 때는 원주율을 3.14로 하였다.

또 송나라 때의 조중지라는 학자는 아르키메데스와 같은 방법으로 원주율의 값을 계산하여 그것을 분수로 나타내었을 때, 세밀한 값으로는 355/113, 간단한 값으로는 22/7로 나타내었다.

 

그 후 많은 학자들이 원주율을 계산하였는데 그 중에서도 영국의 샹크스는 원주율의 값을 707자리까지 계산하여 오랫동안 이 기록은 깨어지지 않았다. 샹크스는 이 계산을 일생에 걸쳐서 했다고 하였다. 그러나 샹크스가 계산한 값의 528번째 자리는 잘못되어 있었다.

 

1947년 미국의 전자계산기 ENIAC은 2037자리까지 70시간만에 계산했으며, 1961년 IBM 7090은 8시간 43분 만에 10245자리, 1967년 프랑스의 CDC 6600은 28시간 10분만에 50만 자리까지 계산했다.

지금은 Inverse Symbolic Calculation 방법으로 계산한 1조2천4백억자리까지 가 계산되어 있다. 이것은 2002년 9월부터 11월까지 일본 히다치의 수퍼컴퓨터가 세운 기록이다. 이런 계산은 의 정확한 값에 관심이 있기 때문이라기 보다는 새로운 수퍼컴퓨터를 개발하였을 때 성능을 평가하기 위하여 계산한 것이라 보면 된다.

 

원주율을 라는 문자로 나타내기 시작한 것은 18세기의 수학자 오일러에 의해서이다. 1737년 오일러는 '둘레'를 뜻하는 그리스어 의 머릿글자를 따서 원주율을 로 나타내었는데 이 표기가 점차 보편화되어 지금도 사용되고 있다.

 

더욱 자세한 것은 The Pi Page에서 찾아 볼 수 있다.

 

 

파이의 날

3월 14일을 파이의 날( day, PiDay)이라고 한다.

이 날 기념식은 치르는 곳이 많다.  기념식은 1시 59분에 시작된다. 의 근사값이 3.14159이기 때문이다.

엄밀하게 말하면 오전 1시 59분이 되겠지만…

3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이기도 하다.

파이 근사의 날은 7월 22일이다. 파이 근사값 22/7에 맞춘 날이다.

 

원주율 의 근사값은 다음과 같다.

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679