피보나찌

 

피보나찌 수열의 규칙성에서 또 다른 성질을 알아보자.

꽃, 파인애플, 솔방울 등을 살펴 보면 그 나선형 구조에서 다음과 같은 피보나찌 수열을 발견할 수 있다.

          1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .  .

이제 이 수열에서 이웃하는 피보나찌 수의 범위를 알 수 있다. 각각의 경우에 한 방향의 나선의 수는 다른 방향의 나선의 수의 두 배가 못되는 것을 알 수 있다. 그 비율을 실제로 알아 보면 좀 더 많은 사실을 알 수 있을 것이다. 이제 바로 이웃한 수들의 비를 계산해 보자.

피보나찌 수

피보나찌 수

비율(분수)

비율(소수)

    1

   1

  1/1

1.00000

    1

   2

  2/1

2.00000

    2

   3

  3/2

1.50000

    3

   5

  5/3

1.66666...

    5

   8

  8/5

1.60000

    8

  13

 13/8

1.62500

  13

  21

 21/13

1.61538...

  21

  34

 34/21

1.61900...

  34

  55

 55/34

1.61764...

  55

  89

 89/55

1.61818...

  89

144

144/89

1.61797...

144

233

233/144

1.61805...

233

377

377/233

1.61802...

 

이 표에서 비율이 일정한 값으로 가까워 짐을 알 수 있다.

 

1만의 분수로 나타내기

위의 분수를 아래와 같이 바꾸어 나타낼 수도 있다. 앞에서 본 피보나찌 수열을 다른 각도에서 바라본  것이다.

          

          

          

          

          

이와 같이 하나의 대상을 두고도 바라보는 시각을 달리하면 전혀 다른 모습으로 보인다. 1이라는 가장 기본적인 숫자를 이용하여 피보나찌 수열을 나타낼 수 있는 것이다. 각 분수의 계산은 인 관계와 각 피보나찌 수는 바로 앞의 두 피보나찌 수의 합으로 나타낼 수 있다는 사실을 사용하여 만든 것이다.  

즉, 임의의 피보나찌 수는 바로 앞의 두 피보나찌 수의 합이라는 사실에서 다음과 같은 분수를 얻을 수 있다.

즉,

          

이고

          

이다. 물론, 여기서도 는 이미 그 앞에서 분수로 표시되어 있을 것이다.

이와 같은 방법으로 임의의 두 연속한 피보나찌 수의 비를 1만으로된 분수로 나타낼 수 있다.

이번에는 바꾸어 생각을 해 보자. 즉, 1만을 포함하는 아래와 같은 모양의 분수

          

는 연속한 두 피보나찌 수의 비가 된다는 것을 확인할 수 있다.

 

더 자세한 것은 아래의 끝없이 계속되는 1의 분수에서 알아보자.

끝없이 계속되는 1의 분수

 

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