1의 분수

피보나찌 수에서 아래와 같은 분수

          

는 이웃한 두 피보나찌 수의 비율임을 알아 보았다.

이제 다음과 같이 를 무한히 계속되는 1의 분수를 생각해 보자.

          

이 분수 가 실제로 하나의 실수값이 된다는 것은 조금 높은 정도의 수학적 이론을 필요로 하지만 우리는 이 사실을 받아들이기로 한다. 이제

          

이므로 분수부분만 보면 분모가 끝없는 1의 분수로 원래의 와 같음을 알 수 있다. 즉,

          

이다. 이것을 에 대하여 정리하면

          

          

          

이 이차방정식의 해는

          

이다. 그런데, 는 1보다 크므로

          

이다. 계산기를 이용하면

           . . .  

임을 알 수 있다.

이 값을  다음 표에서 볼 수 있는 피보나찌 수의 비율과 비교해 보자.

피보나찌 수

피보나찌 수

비율(분수)

비율(소수)

    1

   1

  1/1

1.00000

    1

   2

  2/1

2.00000

    2

   3

  3/2

1.50000

    3

   5

  5/3

1.66666...

    5

   8

  8/5

1.60000

    8

  13

 13/8

1.62500

  13

  21

 21/13

1.61538...

  21

  34

 34/21

1.61900...

  34

  55

 55/34

1.61764...

  55

  89

 89/55

1.61818...

  89

144

144/89

1.61797...

144

233

233/144

1.61805...

233

377

377/233

1.61802...

<<이 표는 피보나찌 수에도 나온다.>>

 

이 수의 의미는 다음의 황금비에서 알아보자.

황금비

 

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