자연의 신비한 수학

 아래 사진에서 어떤 규칙을 찾아 볼 수 있는가?

     

 

아래 사진도 살펴 보자. 쉽게 볼 수 있는 꽃이다.

               

우리는 자연의 아름다움을 보고 느끼고 말한다. 그러나 그 속에서 어떤 규칙을 찾아내는 일은 쉽지 않다. 아름다운 자연에서 규칙을 발견한 사람이 있다. 피보나찌는 13세기에 이미 자연에서 수학적 규칙을 발견하였다. 작은 사진 오른쪽은 해바라기이다. 이 해바라기 꽃의 가운데 부분부터 살펴보면 나선형 구조를 발견할 수 있다. 중심으로부터 여러 개의 시계방향과 시계 반대방향으로 나선형 무늬를 볼 수 있다. 이 두 가지 나선이 서로 교차하면서 마치 최면을 걸 듯이 어지러우면서도 규칙적으로 무늬를 만들고 있다. 이와 같이 서로 교차하는 나선은 바로 위의 솔방울에도 있고, 파인애플이나 아래 왼쪽의 꽃에서도 찾아 볼 수 있다. 위의 보기는 자연에서 규칙적으로 상호 작용하는 나선형에 대한 몇 가지이다.

 

더 자세하게

우리는 이제 이렇게 나선형 무늬가 있다는 것에 만족하지 말고 더욱 자세하게 살펴보기로 하자. 수학적으로 접근해서 양적인 면을 살펴보자. 얼마나 많은 나선이 있는가? 대략 살펴보면 아주 많다. 시계 방향의 나선과 반시계 방향의 나선의 개수가 같은가? 솔방울을 살펴보면 한 쪽으로는 5개, 다른 쪽으로는 8개의 나선이 있음을 확인할 수 있다.  또, 파인애플에는 한쪽으로는 8개, 다른 쪽으로는 13개의 나선, 데이지 꽃에서는 21개와 34개의 나선이 있음을 확인할 수 있다. 또, 해바라기 꽃에는 55개와 89개라는 것도 확인할 수 있다. 한 쪽은 다른 쪽에 비하여 거의 두 배에 가깝다는 것을 알 수 있다. 이제 여기 나온 모든 수를 늘어 놓으면  다음과 같다.

          5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

여기에 어떤 규칙이나 구조를 찾아 볼 수 있는가? 이제 우리가 처음 두 수 5와 8만 알고 있다고 하자. 이 두 수를 이용하여 그 다음 수를 만들 수 있을까? 어떻게 하면 계속 그 다음 수를 만들 수 있을까? 여기서 간단히 5와 8을 합하면 13이다. 또 그 다음 수 21은 8과 13의 합이다. 이런 패턴이 계속된다. 그러면 89 다음에는 어떤 수가 올까? 이 패턴에 따르면 그 다음 수는 55+89=144이다. 그러면 5 앞의 수는 무엇이며 또 그 앞의 수는 무엇일까?  

 

피보나찌 수열

위와 같은 규칙을 적용하여 앞의 수를 찾으면 5 앞에는 8-5=3이고 3 앞에는 5-3=2, 2앞에는 3-2=1이다.  또 그 앞에 하나 더 붙인다면 2-1=1이다. 따라서 처음부터 나열하면

          1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .  .

숫자를 차례로 나열한 것을 수열이라고 하는데 위의 수열을 피보나찌 수열이라고 한다. 그 이름은 13세기에 이 규칙을 연구한 Leonardo of Pisa(Fibonacci 라는 이름으로 더 잘 알려져 있는데 이 이름은 Filius Bonacci를 줄인말로 Bonacci의 아들이라는 말임)의 이름을 딴 것이다. 이제 이 규칙을 알고 나서는 실제로 위의 사진에서 나선의 수를 세어보고 싶어질 것이다. 그만이 아니라 과일 상점에 갈 때마다 파인애플에서 나선의 수를 세어보고 싶르 수도 있다.

이런 규칙은 왜 생길까? 해답은 성장과 채우기의 문제에 관계된다. 해바리기나 데이지 꽃은 중심의 성장해 나가는 부분인 아체의 아주 조그만 부분으로 시작해서 바깥쪽으로 점점 자라나간다. 꽃이 커지면서 어린 아체는 바깥쪽으로 밀려나가게 되는데 이 때 아체는 자라나갈 공간이 가장 넓은 쪽으로 나아간다. 즉, 먼저 자란 아체가 가장 적게 분포하고 있는 곳으로 나간다. 이런 조건하에서 아체들이 자라 나가는 과정을 컴퓨터로 계산해 보면 자라는 과정에서 나선이 생기고 나선의 수는 앞의 피보나찌 수열에 나오는 숫자가 된다. 피보나찌 수열은 자연에서 발견할 수 있는 놀랍고도 아름다운 패턴의 한 예라고 할 수 있다. 자연의 패턴을 수의 일정한 규칙으로 나타낸다는 것은 놀라운 개념이다.

자연에서 새로운 패턴을 찾아내는 훌륭한 방법은 추상적인 무늬를 만들어 놓고 그 무늬 자체를 관찰하는 방법이다. 즉, 꽃이나 과일에서 피보나찌 수열을 찾아내었지만 이제 식물을 떠나서 피보나찌 수열 자체를 생각해 보자. 이 수열에서 규칙을 찾아내고 우리 생활이나 자연에서 나타나는 피보나찌 수열과 관계되는 흥미로운 사실들을 찾아 보자.

 

더욱 자세하게 알아 보려면 다음 재미있고 놀라운 분수를 살펴보자.

재미있고 놀라운 분수

 

위로