바빌로니아인과 이집트인의 수학

                                                  

바빌로니아인들은 티그리스강과 유프라테스강 사이의 비옥한 평면, 메소포타미아에 살았다.  

  

 그들은 설형문자에 기초하여 추상적인 형태로 발전하였다. 그들의 문자는 뜨거운 태양아래 구어진 젖은 진흙서판 위에 쓰여졌다. 수천개의 서판들은 지금까지 전해지고 있다. 곡선들이 그려지지 않았기 때문에 ,셜형문자의 사용을 진흙서판 중간에 바늘을 사용하였다.

  

바빌로니아인의 계산하는 기술 중 가장 놀랄만한 것은 아마도 계산을 돕기 위하여 표를 작성한 것이다. 바빌로니아인들은 발달한 수체계를 가졌다. 어떤 면에서는 현재의 수체계보다더 발달헀다고 볼 수 있다. 현재의 10진법보다. 오히려 60진법에 근거를 둔 뛰어난 수체계이다. 현재, 10은 두 개의 적당한 약수 2,5뿐이다. 그러나 60은 10개의 약수들을 가진다.  그래서 많은 수들이 현재의 유한한 형태를 가진다.

바빌로니아인들은 하루를 24시간으로 나누었고 각 시간을 60분으로 나누고 각분을 60초로 나누었다.  수셈의 이 형태는 4000년 동안 지속되어 왔다. 5h 25' 30''쓰는 것은 즉 5시간 25분 30초를 60진법 분수에 근거를 두고 쓰면 또는 10진법 분수법에 근거를 두면 이다.  우리는 소수의 표기법으로는 5.425라고 쓸 수 있다.

두 개의 서판이 기원전 2000년부터 1854년까지 유프라테스의 Senkerah에서 발견되었다.  바빌로니아인들은 59까지 제곱수와 32까지 세제곱수를 두었다.  이 표는 임을 보인다.  즉    60진법에 근거하여 성립함을 안다

그러나 바빌로니아인의 수체계에서 가장 중요한 단점중 하나는 영(0)의 체계적 결함이었다.  이것은 수들이 유일한 표현을 갖는 것이 아니라 1이 1인지 61인지 3601인지 등을 명확하게 하기 위해 전후문맥들을 요구했다.  바빌로니아인들은 다음 정리를 더 쉽게 곱셈하기 위해 사용했다.  

더 나은 정리는

이것은 제곱공식표가 수들을 곱하는 필요한 모든 것을 보여준다.  간단히, 표를 찾아가는 것은 두수들의 차이점을 갖는 것이다.  나눗셈은 더 어려운 과정이다.  바빌로니아인들은 긴 나눗셈에 대하여 알고리듬(algorithm)을 갖지 않았다.  대신에 다음과 같은 사실에 그들의 방법에 근거를 두었다.

그래서 필요로 하는 것은 반비례, 즉 역수의 표였다.  우리는 여전히 수억까지 수들의 역수에 이르는 그들의 역수표를 가지고 있다.  물론, 그 표들은 그들의 수의 표기법이다.  그렇지만 우리의 표기법으로 해석하지만 60진법에 근거를 둔 것이다.  그들의 표의 하나의 시작은 다음과 같이 볼 수 있다.

2       30

3       20

4       15

5       12

6       10

8        7      30

9        6      40

10       6

12       5

15       4

16       3      45

18       3      20

20       3

24       2      30

25       2      24

27       2      13     20

 

지금 그것 안에는 등이  60분수법에서는  끝나지 않기 때문에 결점을 가진다.  그렇다고 이것이 바빌로니아인들이 표기할 수 없다는 것을 의미하지 않는다.

다시 말하면, 그들은 이 값은 표에 주어져 있었다.  기록되어진 기원전 1900과 1600사이로부터 바빌로니아인들과 서판중 하나는 피타고라스 수(a2+b2=c2 를 만족하는 세 수 a b c)을 포함하는 문제에 대한 답을 가지고 있다.   현존하는 가장 오래된 수의 원리 자료라고 전해지고 있다.  

 

영국박물관에 보전되어 있는 또 다른 바빌로니아인이 쓴 서판의 해석은 다음과 같다.

   4는 세로이고 5는 대각선이다.  폭은 얼마인가? 이것의 폭은 알려지지 않았다.  4×4=16, 5×5=25, 25-16을 하면 9가 남는다.

   9를 얻기 위해 몇 번이나 무엇을 해야할까요? 3×3=9,  3은 폭이다.

 이집트인과 로마인들은 산수계산에 대해 편리하지 않은 수체계를 가졌다.  로마숫자의 덧셈을 그다지 어렵지 않지만 곱셈은 본질적으로 불가능하다.  이집트인의 체계도 비슷한 결점을 가졌다.  이집트인들이 수학에 접근하는 대도 매우 실용적이다.

당신은 이집트인(the Rhind Papyrus)의 수학의 예를 상형문자의 해석과 함께 다른 파피루스(the Moscow Papyrus) 사본에서 볼 수 있다.  

  

 Rhind 파피루스는 1858년대 Luxor에서 이것은 구입한 스코틀랜드계 이집트 학자 A Henry Rhind의 이름을 딴 것이다.  약 6미터 길이의 두루마리와 1/3미터 넓이를 갖는 파피루스는 200년 더 오래된 문서를 제본한 저자 Ahmes에 의해 BC 1650년쯤 쓰여졌다.  이것은 약 BC 1850년경 자료에 최초의 파피루스와 모스크바 파피루스로 만들어졌다.  

  

수학적 아이디어에 관해 추상적으로 생각했던 그리스 사람들과는 달리 이집트인은 실용적인 산수에만 관련되었다.  사실, 이집트인들은 아마도 수를 추상적인 수양으로써 숫자들을 생각한 것이 아니다.  8은 언급할 때 항상 8의 대상을 완전한 집합으로 생각했다.  이집트인들은 숫자의 이러한 체계의 결정을 극복하기 위하여, 그들의 수들이 약 BC 1700년경에 자료인 Rhind 파피루스에서 보여진 것으로 곱셈에 관해 부적당했던 명확한 사실을 교묘한 방법으로 고안했다.

 Rhind 파피루스는 곱셈이 아래와 같은 방법으로 행해졌다는 것을 알린다.  만일 59에다가 41을 곱한다고 가정하자 59로 잡고 그 자신을 더한다.  그러면 더한 것에 또 다하고 그 과정을 계속한다.

41              59

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 1              59      X

 2             118

 4             236

 8             472      X

16             944   

32            1888      X

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64가 41보다 크기 때문에 32를 지나서는 할 필요가 없다.  지금 41=32+8+1을 보이기 위해 뺀 수로 계속 빼라.

   41-32=9,   9-8=1,  1-1=0

32, 8, 1 에 대응되는 오른쪽 세로열의 수들을 체크하고 그 수들을 더한다.

                59

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 1              59      X

 2             118

 4             236

 8             472      X

16             944

32            1888      X

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              2419

곱셈은 단 덧셈과 동시에 이루어짐을 관찰하라. 또한 이것은 두 성분으로 된 산수로 매우 쉽게 사용할 수 있다.  우리가 가진 그 사실은 역도 성립한다.

59              41

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 1              41      X

 2              82      X

 4              16

 8             328      X

16             656      X

32            1312      X

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