수학과 예술  

 

1. 여러 색깔의 지도 (4색 문제)

  지도란 알려진 곳과 알려지지 않은 곳 모두의 그림이다. 옛날 뱃사람들이 지니고 다녔던 지도에는 환상적인 이름으로 표시되고 신화적인 생물들로 장식된 신비스러운 지방들과 나란히, 주요한 도시와 사람들이 자주 다니는 교역로 들이 나타나 있다. 사람들은 알려지지 않은 곳을 여러 가지로 상상했다. 그리고 모험과 전설적인 부를 암시하며 옛날 탐험가들을 끌어들였던 곳은 잘 알려지지 않은 이들 지역이었다.

  현대 수학의 지도에도 이와 비슷하게 잘 아는 곳과 이색적인 곳과 미지의 곳이 혼합되어 있다.

  유럽의 여러 국가들이나 미국의 주들을 서로 구별되도록 화려하게 색칠해 놓은 지도 속에는 믿을 수 없을 만큼 간단한 수학 문제가 숨어 있다. 그것은 가능한 한 적은 수의 색을 사용하여 지도를 만들고 싶어하는 인색한 지도 제작자들의 관심이었다. 문제는 같은 경계를 갖는 나라는 서로 같은 색을 갖지 않도록 하면서 평면 종이에 그릴 수 있는 가능한 모든 지도들을 색칠한다고 했을 때, 네 가지 색만으로 언제나 충분한가 하는 것이었다. 이 지도 제작자들의 수수께끼는 여기에 몇 가지 정의와 조건을 더하여 잘 다듬으면 수학적인 문제가 된다. <그림1>을 보면 이때 점으로 표시되는 경계는 공통의 경계로 보지 않는다. 그렇게 하지 않으면 나라들이 지도에 부채꼴로 잘라 놓은 파이처럼 배열되어 있을 경우에 나라 수만큼의 색들이 필요하게 된다. 또 각 나라들은 지도 위에 흩어져 있는 식민지를 가져서는 안되고 국토가 연결되어 있어야 한다.

  

  영국의 대학원생인 구드리가 1852년 그의 동생에게 보낸 편지에서 처음 제안했던 4색문제(the four-color problem)는 그 후 전문 수학자와 아마추어 수학자 모두에게 호기심도 불러일으키고 괴로움도 주었다. 일찍이 수학자들은 분명히 세 가지 색만으로는 모든 지도를 색칠할 수 없음을 알았다. 네 가지 색이 필요한 지도는 쉽게 그릴 수 있다. 또한 영국의 수학자 드모르간은 다섯 나라 중 어느 한 나라가 다른 네 나라 모두와 경계를 같이하도록 할 수는 없다는 것을 증명하였다. 이것이 그에게 다섯 가지 색은 결코 필요하지 않다고 믿게 했다. 그러나 꼭 네 가지 색만으로 충분하다는 증명은 수년 동안 지도를 그려보고 증명을 시도해 보아도 확실하지 않은 채 해결되지 않고 남아 있었다.

  1976년 두 수학 교수가 4색 정리를 증명했다. 그건 수학자들이 샴폐인을 터뜨리며 축하할 만한 뉴스였다. 일리노이 대학교의 아펠과 하켄이 그들의 성공을 발표했을 때 수학계에서는 대단한 축하가 있었다. 그들은 수학의 에베레스트 산중 하나를 정복한 셈이었다. 그러나 4색문제가 어떻게 증명되었는지 궁금해하는 사람들에게는 깜짝 놀랄 만한 사실이 기다리고 있었다. 그 증명은 이제가지 해온 어떤 수학적 증명과도 달랐다. 수많은 도표와 함께 수백 페이지에 달하는 복잡한 증명은 대단한 각오를 하지 않고서는 읽어볼 수조차 없었다. 많은 수학자들을 더욱 질리게 한 것은 증명이 필요한 특정한 사실들을 입증하는 데 컴퓨터가 정교한 계산원으로 처음 사용된 사실이었다.

  정리를 증명하는데 필요한 방대한 양의 가능한 경우들이 해석학적으로 밝혀졌는데 이 모든 경우들을 하켄과 아펠은 컴퓨터를 사용함으로써 분석할 수 있었다. 그 과제는 속도가 빠른 컴퓨터로도 1,200시간이나 걸렸으니, 손으로 한다면 아마 영원히 해야 할 것이었다. 이 사실은 또한 컴퓨터의 도움 없이는 증명할 수 없었음을 의미하는 것이기도 하였다.

  그러나 4색정리의 증명이 타당한 것인가에 대해서는 아직까지도 미심쩍어하는 사람들이 있다. 대부분의 수학자들이 하켄과 아펠이 접근한 방법을 받아들이고 있지만, 증명에 무언가 잘못이 있으리라는 이야기가 끊이지 않고 있다.

 

2.  비누방울을 이용한 수학자의 창의력

  영국의 물리학자인 보이스는 그가 비눗방울에 관하여 쓴 책에서 다음과 같이 말했다. 최근에 이루어지고 있는 수학의 발전은 20세기에 들어서려는 무렵에 씌어진 이러한 말들이 여전히 성립하고 있음을 보여준다. 꼬아놓은 철사틀을 가로질러 뻗어나가는 비누막이나, 제멋대로 덩어리지어 송이송이 모여있는 방울들의 기하학에 고무된 몇 명의 수학자들은 기하모형들로 이루어진 이국적인 새로운 세계를 탐험하였다.

  건축가 오토가 설계한 구조들은 겉모양이 거미집 위로 뻗은 비누막 들처럼 아름답다. 강철 줄의 그물이 지탱하는 반투명의 엷은 막이 높은 기둥으로부터 저 아래까지 닿아 있다. 닻이 이렇게 가벼운 형태의 자락들을 지상에 매어 놓고 있다. 그들이 천막처럼 보이는 것은 우연이 아니다. 오토는 짓고, 철거하고, 이동하기 용이하도록 가벼운 구조들로 만들기 위하여 가능한 대로 가장 적은 양의 건축재료를 사용하고자 하였다. 그는 자연 속에 나타나는 우아하고 경제적인 비누막으로 부터 그의 모델을 끌어내었다. 실제로 그가 전시장, 경기장 등을 설계하는 주요한 도구들 가운데 하나는 비누막 실험법이었다. 실험자들은 여러 가지 높이의 가느다란 막대들이 여기저기 박혀있는 플랙스 유리판을 가지고 실험을 시작한다. 기둥에서 기둥으로 헐겁게 걸려있는 매달린 줄들이 기초적인 가장자리와 봉우리들을 정한다. 이것과 닮은 형태를 비눗물 용액에 담그고 그 장치를 조심스럽게 빼내면 이것과 닮은 형태를 비눗물 용액에 담그고 그 장치를 조심스럽게 빼내면, 그것은 마술하는 것같이 반짝이는 텐트 모양으로 바뀐다. 실이 있는 데까지 펼쳐나가는 비누막은 실들을 팽팽히 당기면서 극적인 부챗살 모양의 지붕들을 만들어낸다. <그림2>의 윤곽처럼 지붕의 각 부분은 한 방향으로는 곡선이 올라가고 그와 직각인 방향으로는 곡선이 내려가는 말안장 모양으로 생겼다. 그리고는 조심스럽게 비누막 모델의 사진을 찍고, 측정한다. 작은 입체 모형을 만들고 눈과 비의 잠재적인 충격을 결정하기 위하여 풍동에 넣고 시험한다. 계획이 완전히 세워진 후, 드디어 합성물질로 비누막을 대신하고 강철 선들로 실을 대신하여 건설을 시작한다. 그와 같은 모델로 오토와 그의 공동 작업자들은 예전에는 결코 건축에 사용된 적인 없었던 형태들을 연구할 수 있었다. 그들은 종종 수학적으로 정확하게 설명하기에는 너무 복잡한 형태들을 탐구할 수 있었다. 그들은 실험에 의해서 곡면과 곡선에 관련된 수많은 수학적 문제들을 해결할 수 있었다.

 

   비누막은 극소곡면들에 대한 좋은 모델이다. 철사고리를 가로질러 펼쳐있는 비누막의 표면을 가만히 누르면 막의 면적은 언제나 증가한다. 그런 방해가 사라지면 비누막은 그의 원래의 모양으로 튕기듯 돌아와 가능한 최소의 면적을 취하면서 다시 고리를 채운다. 이러한 반응의 근저에 있는 물리적 기본원리는 어떤 조직에서든 가장 낮은 에너지 상태를  찾으려는 경향이다. 비누막을 잡아당기면 위치 에너지가 증가한다. 스프링을 늘이는 데 에너지가 필요했던 것과 똑같은 방법으로 변형하려면 일이 행해져야 한다. 할 수 있는 한, 비누막은 그의 위치 에너지가 최소가 되는 형태를 찾고, 그리고 그의 곡면 에너지는 그 면적에 비례하기 때문에 자동적으로 극소곡면의 형태를 취하게 된다. 결과적으로 비누막들은 프라이 오토의 설계 작업에서 일어나는 것들과 같은 수학적 문제들을 해결하는 데 사용될 수 있다.

  비누막 반응은 또한 도로 건설자들의 악몽을 뚜렷이 나타내는 장애문제들을 해결할 수 있는 방법에 대한 암시를 준다. 장애문제의 간단한 변형은 장애물이 없고 자연스럽지 않은 매끄러운 평면 위에 네 개의 도시가 위치한 문제이다. 거의 두 세기 전에 베를린 대학교의 슈타이너에 의해서 고안된, 네 개의 도시 모두를 연결하는 가장 짧은 길을 찾는 문제는 초등 기하학을 이용하여 해결할 수 있다. 이 모델을 비눗물 용액에 담갔다가 꺼내면, 답은 못들을 연결하는 비누막에 쓰여있다.

 

  호수나 산맥과 같은 장애물이 도입되거나, 도시의 수를 늘렸을 때 상황은 더욱 복잡해진다. 일반적으로 이러한 장애문제들은 기술자나 설계가나 경영자들이 제약조건의 수풀을 통과하는 최선의 길을 찾아야 할 때마다 제기된다. 실험에 의해서 유도하거나, 컴퓨터로 해내거나, 혹은 계산기술을 사용하여 추출해 냈거나 간에, 비누막에 의한 풀이에서 방법을 알아볼 수 있다.

  얼른 보기에 대야에 가득 담겨 반짝거리는 비눗방울들은 부드럽고 투명한 공들이 아무렇게나 서로 찌르고 북적대면서 우연히 모여 있는 것에 지나지 않는 것처럼 보인다. 그럼에도 불구하고 이 하루살이 같은 건축물에는 그 전반에 걸쳐 미묘한 균형이 잡혀 있다. 단 하나의 거품이라도 터지기만 하면 재빠른 조정이 이루어지고, 그리고는 모든 것이 다시 조용해진다. 비누거품들이 한데 모여 있는 데어도 그 방식을 지배하는 몇 가지 규칙들이 나타난다. 제일 큰 비누거품 송이에 있어서도, 비누막이 서로 만날 때에는 단지 세가지의 현상이 일어날 수 있는 것으로 밝혀졌다. 첫째는 두 개의 거품을 한데 붙였을 때 볼 수 있는 것처럼 매끄러운 막 하나가 국소적으로 공간을 두 영역으로 갈라놓는다. 둘째는, 세 거품들이 한데 합쳐질 때와 같이 만일 세 표면들이 만날 경우 그들은 교차해서 한 직선을 이루고 각 면 사이의 각은 120도가 된다. 마지막은 여섯 개의 표면이 한 점에서 합쳐지는 네 개의 모서리를 따라 한 번에 세 개씩 만난다. 그 형태는 세 개의 거품이 이루는 삼각형의 꼭대기에 전체 배열이 4면체 같이 모이도록 네 번째의 거품을 놓을 때 나타난다. 모서리의 쌍들이 이루는 각은 항상 약 109.47도인데 이 각은 입방체를 가지고 서로 반대편 꼭지점에서 그린 두 교차하는 대각선들끼리 이루는 각과 대응된다. 지난 10년동안 있었던 수학적 성과의 하나는 비누거품과 비누막들에 적용되는 규칙들에 대한 모델을 만들어낸 일이었다. 거품의 움직임의 세가지 기본적인 규칙은 면적최소화 원리라는 간단한 수학적 결과이다.

   

3. 사영기하

  (1) 4차원

  보통사람들은 3차원 세계에 살고 있으므로 평지의 삼각형이나 사각형, 그 밖의 다각형들을 쉽게 알아볼 수 있지만 평지인들은 직선밖에 알아보지 못한다. 이와 똑같이, 3차원에 있는 사물의 본질을 완전히 파악하고 서로의 관계를 밝혀내기 위해서는 4차원이나 그 이상의 세계에서 바라보아야 한다. 4차원으로의 여행은 길이나 넓이나 높이가 없는 0차원의 물체인 점에서부터 시작된다. 점은 뻗어나가 직선이 되고, 직선은 옆으로 퍼져 정사각형이 되고, 사각형은 위로 떠오르면서 정육면체가 된다. 일단 직선이 형성되면, 각 단계마다 도형은 이미 정의되었던 방향과 직각을 이루는 세 방향으로 확장된다. 각 단계를 거칠 때마다 도형은 차원이 높아진다. 세 방향에 모두 직각이 되는 네 번째 방향으로 움직여가면, 정육면체는 4차원으로 들어가게 된다. 그 결과가 초입방체이다. 초입방체는 어떻게 생겼으며 다른 4차원의 물체는 어떻게 생겼을까? 다차원 도형을 추적하는 한 가지 방법은 그 도형을 이루고 있는 점들의 집합의 위치를 나타내기 위해서 좌표계를 사용하는 것이다. 마치 길가의 이정표가 어떤 도시로부터의 거리를 표시해 주는 것처럼, 1차원 공간에서 점의 위치를 나타낸다. 지구의 표면은 구부러졌지만, 2차원이므로 위도와 경도를 사용하여 어느 위치나 나타낼 수 있다. 마찬가지로 한 쌍의 수 좌표는 종이 위에 그린 정사각형의 꼭지점의 위치를 표시하는 데 사용할 수 있다. 3차원에서는 세 개의 수로 모든 위치를 나타낼 수 있다. 그러므로 지구표면 위로 비행하는 데는 세 번째 차원인 고도가 필요하게 된다. 이론적으로, 4개의 좌표는 4차원의 점을 나타내고, 5개의 좌표는 5차원의 점을 나타내는 등 계속 그러하다.

  몇 명의 수학자들이 수년 동안 네 번째의 기하학적, 곧 공간적 차원에 대하여 연구해 왔다. 1827년에 뫼비우스는 왼손의 그림자를 그림자의 차원보다 차원이 하나 더 높은 3차원을 지나게 함으로써 오른손의 그림자로 바꿀 수 있다는 사실을 알았다. 누구나 손모양을 본떠 오려내어서 뫼비우스가 발견한 대로 해볼 수 있다. 오려낸 것을 집었다가 다시 책상 위에 놓기 전에 위 아래를 뒤집으면 모양이 거울에 비친 상으로 변한다. 아마 뫼비우스는 3차원의 왼손 장갑이 오른손 장갑으로 바뀌려면 4차원 공간이 필요하다고 생각했을 것이다. 19세기 후반에 미국의 수학자 스트링햄을 포함하여 몇 명의 수학자들은 4차원 도형의 그림을 연구하여 출판했다. 특히 스트링햄의 스케치와, 사람들이 초입방체를 볼 수 있게 훈련될 수 있을 것이라고 믿었던 힌튼의 노력은 대중들의 대단한 관심을 불러 일으켰다. 유명한 수학자 포앙카레까지도 4차원의 인지 가능성에 대해 논의했다.

  컴퓨터는 4차원 물체의 각 점들의 위치를 나타내는 4개의 숫자나 좌표를 조작하고 구성할 수 있다. 그러나 그 물체의 4차원 중에서 2차원 혹은 3차원만을 보여주게 된다. 그럼에도 불구하고 컴퓨터는 속도가 빠르고 적응력이 좋기 때문에 수학자들이 4차원 물체를 관찰할 수 있는 가능성이나 방법들을 훨씬 확장해 준다. 모서리만 빼놓고 나머지 부분이 투명한 보통의 3차원 입방체로부터 드리워지는 그림자를 보면 초입방체의 그림자는 어떠할 것인가에 대해 짐작을 할 수 있다. 입방체의 2차원으로의 그림자는 정사각형 안의 정사각형으로 보인다. 입방체를 회전하는 초입방체도 또한 일련의 컴퓨터로 만든 영상들을 한데 모아 영화로 만들어 움직이게 할 수 있다. 처음에는 꼭지점 4개와 모서리 4개가 있는 정사각형처럼 보일 수 도 있다. 그 정사각형은 6면체의 한 면인 것처럼 보이고, 6면체는 12개의 모서리와 8개의 꼭지점을 가진 평행 6면체로 나타난다. 더욱 회전을 시키면 그 도형은 선분들이 별 모양으로 벌어지는 모양(8개의 초입방체의 입방체 초곡면들과 그것들이 가진 24개의 정사각형 면, 32개의 모서리, 16개의 꼭지점들)을 보이게 된다.

 

   원근화법으로 바라보면 초입방체가 보통의 3차원 공간밖에 존재하는 점에서 투영된다면 3차원상의 그림자는 큰 유리 입방체 안에 떠 있는 작은 유리입방체처럼 보인다. 초입방체가 회전하면 안쪽의 입방체는 떠올라 납작하게 되며 안과 밖이 바뀌게 된다.

 

   입방체의 단면은 초입방체의 단면을 관찰할 때 숨겨진 많은 것을 암시해 준다. 입방체의 단면은 삼각형으로, 정사각형으로 또는 다른 종류의 사변형으로 그리고 육각형으로도 나타난다. 4차원에서는 3차원의 칼로 자른 단면들은 더욱 이상한 모양들이 된다. 일그러진 입방체, 여러 가지 모양의 프리즘, 복합정다면체나 반 정다면체들이 흔히 예기하지 못하는 배열을 이루고 있다.

  최근에 4차원 이상의 물체에 대한 컴퓨터 영상을 만드는 일을 하는 그런 어렴풋한 세계에서 많은 시간을 보낸 수학자 중의 한 사람이 브라운 대학교의 뱅코프이다. 그와 또 다른 연구자들은 컴퓨터 그래픽을 사용하여 기하학적 현상의 연구를 관찰 과학으로 변환시킬 수 있었다. 시각적 영상에 대한 대 여행은 방정식이나 자료만으로는 쉽게 얻어낼 수 없는 관계나 추론을 뱅코프에게 제시해 주었다. 그는 <미리 가보고 증명하기 전에 사물을 볼 수 있다>고 말했다. 뱅코프와 그의 동료들은 초입방체, 초구면 그리고 다른 고차원 도형들의 놀라운 성질들을 생생하게 보여주는 몇 개의 영화를 만들었는데, 그것들은 수학자들로 하여금 이러한 도형의 신비로운 성질들을 탐구할 수 있게 해준다. 그들의 통찰은 미분기하학, 위상수학 그리고 자료분석과 같은 수학의 분야에 유용하게 쓰인다.

 

  

  (2) 원근법

  건축에서 투시도(透視圖)라고 하는 것은 미술에서의 원근법, 즉 선원근법과 같은 것이다. 가까이 있는 것은 상대적으로 커 보이고, 멀리 있는 것은 작게 보이는 데 이 자연현상을 그대로 표현하는 방법으로 찾아 낸 것이 선원근법 즉, 투시도법이다.

  이것은 그 누구의 발명이 아니라 누구나 발견할 수 있는 자연현상의 원리이다.

 

   이 선원근법은 서양 미술에 있어서 옛 부터 부분적으로 이용되어 오다가 이미 500년전 르네상스시대의 화가들이 실험적 연구를 거쳐 완성해 놓은 도법이다.

 

   (3) 소실점의 발견

  일정 등간격의 두 직선, 즉 수평의 평행선으로 멀리 뻗어 있는 철로를 바라보면, 수평의 두 평행선이 멀리 갈수록 점점 좁아져 보이며 무한히 먼 지평선쯤엣 마침내 한 점으로 만나는 듯, 사라지는 듯이 느껴진다. 이 점을 소점(消點) 또는 소실점(消失點)이라 한다.

 

   그림과 같이  수평, 수직, 또는 어떤 방향이든 한 방향으로 놓여 있는 같은 크기의 대상물은 같은 기준 거리에 있을 때에 비해 멀어지는 거리에 반비례하여 작게 보인다. 따라서 무한대의 거리로 연장되면 크기가 1/∞=0이 되어 한 점이 되고 만다. 즉, 육안의 시력으로는 가물가물 소점이 잘 안보이지만 계산이 증명하고 있다.

4. 아핀변환

  아핀변환은 그림 그릴 때 쓰는 도안기계(직선을 이루는 점들이 속하는 좌표평면에서 그림을 그릴 때 그림을 줄이거나 크게 하거나, 이동하거나 회전하거나, 휘거나 하여 마침내 처음 것을 비틀어 버리는 변형을 만드는)와 어느 정도 같다.

  아핀변환은 삼각형, 나뭇잎, 산, 고사리, 굴뚝, 구름 또는 물체가 놓일 수 있는 공간까지 포함해서 어떤 형태의 대상에도 적용할 수 있다. 나뭇잎의 경우에 더 작고 틀어진 그 나뭇잎의 본을 찾는 것이 아이디어인데, 함께 맞추고 하나를 부분적으로 겹쳐지게 다른 것 위에 쌓으면 콜라쥬를 형성하고 그렇게 하면 거의 처음 잎 전체를 이루게 된다. 각각의 틀어지고 줄어든 본은, 특정한 아핀변환, 곧 이른바 축약함수에 의하여 정의된다. 만일 전체 앞에 가까운 네 개의 잎의 복사형을 취하면 네 개의 그러한 변환이 있게 된다. 이제 원래의 상 곧 타게트는 나뭇잎이든 구름이든 대응하는 아핀변환들의 집합만 남기고 한쪽으로 팽개쳐 버릴 수 있다. 본질적으로 공간의 조각을 주조함으로써 원래의 영상을 재창조하는데 이 변환들을 사용할 수 있다. 컴퓨터 스크린 위의 어느 한 점에서 시작해서 마땅한 변환을 적용하여 그 점을 새로운 지점으로 이동하고, 그 지점에 표시를 한다. 다시 무작위로 변환 중의 하나를 적용하여 점을 또 다른 위치로 이동한다. 새 지점에 색을 칠하고 그 과정을 몇 번이고 되풀이한다. 놀랍게도 지정된 점은 목표없이 여기저기 뛰어다니며 나타나지만 그 형태가 서서히 드러난다. 색칠해진 점들의 궤적은 합쳐져서 극인자라고 부르는 영상을 만든다. 네 개의 나뭇잎 변환의 경우에는 흡인자는 원래의 나뭇잎과 매우 비슷하게 보인다.

 

    어느 특정한 아핀변환들의 모임이라도 무작위로 반복하면 독특한 프랙탈 도형을 만들어내는 것으로 밝혀졌다. 특정한 영상을 생성하는 데 사용할 올바른 변환군을 찾아내는 것이 비결이다. 그건 콜라쥬 과정을 사용해서 했는데, 예를 들면 나뭇잎을 그 자신의 조그만 본들로 덮는 것이다. 더구나 어떤 변환을 사용할 확률이 그 집합 안에서  어떤 다른 변환을 적용할 확률과 같을 필요는 없다. 그리고 몇몇 그물 정사각형들은 다른 것보다 더 자주 나타날 수 있기 때문에 각 정사각형이 나타나는 상대적인 횟수를 추적하면 색의 밝기나 농도 또는 회색의 정도를 정할 수 있다. 이런 방법으로 많은 정보를 몇 개의 공식 속에 담을 수 있고, 그것들을 규칙들의 모임으로 암호화함으로써 영상들을 압축할 수 있다. 그리고 무작위로 그 규칙들을 반복하면 영상을 재생할 수 있다.

  반슬리와 그의 그룹은 반슬리가 개발한 방법을 사용하여 고사리와 같은 자연물의 진기한 3차원 형상을 만들어낼 수 있었다. 그들이 만들어낸 검은 차꼬리고사리의 우아한 모델은 각각이 평행이동과 회전과 축소의 결합인 네 개의 아핀변환들의 콜라쥬를 응용하여 만들어낸 산물이다. 주어진 점 에 특정한 변환을 적용하면 새로운 점

{}이 생긴다.

  매개변수 는 아래 표에 나타낸 값들을 가진다.

   

사상

평행이동

회전이동

배율

확률

h

k

A

B

r

s

1

2

3

4

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

1.6

1.6

0.44

0

-2.5

49

120

0

-2.5

49

-50

0.0

0.85

0.3

0.3

0.16

0.85

0.34

0.37

0.005

0.8

0.975

0.975

   

  

  반슬리는 또한 프랙탈을 합리적으로 사진으로 재생해 내었다. 한 예를 든다면, 그는 구름낀 하늘을 배경으로 하는 풍경에서 굴뚝 3개를 모델화하는 데 57개의 아핀변환, 곧 흔히 부르듯이 사상(寫像)과 4가지 색(그것은 모두 2,000바이트의 정보에 해당하는데)을 사용했다. 반슬리는 "이 그림속으로 날아들어갈 수 있고, 영상을 촬영할 수 있고, 속에 들어가 확대해 볼 수 있고, 그림 속에 감추어져 있는 것에 대하여 예측할 수 있도록 하려는 것이 우리의 생각이다."하고 말한다.

  더 자세한 세부가 보이도록 그림을 부풀려 확대하면, 그림의 부분들은 의미없이 변해버리지만 굴뚝이나 연기나 수평선 같은 모양들은 영상압축비율이 10,000 대 1 이상일 때까지도 상당히 실감나게 남아있다. 도달하는 압축의 정도는 재생되는 그림이 얼마나 의미 있느냐에 달려있다.

 

5. 사이클로이드(cycloid, 패선)

  원주가 수평선 위를 자전거 바퀴처럼 굴러갈 때 그 원주상의 한점은 어떻게 움직일까? 이 원주상의 점이 그리는 곡선을 보통 패선(cycloid)이라 한다.

  원의 안쪽 점은 완만한 곡선을 그리는데 편여패선(inferior trochoid) 또는 퍼진 패선(prolate cycloid)이라 한다. 원주 밖의 일정 관계점은 심한 이동을 하는데 고여패선(superior trochoid) 또는 꼬부랑패선(curlate cycloid) 이라 한다.

  사이클로이드 1회전 길이는 원주의 직연 길이(2πR)와 일치해야 한다. 이 길이를 1/2, 1/4, 1/8,.....등으로 나누었을 때 원의 중심은 항상 중간높이 수평선상에 있으므로 이 원의 중심에서 일정 단계(1/2, 1/4, 1/8, ......) 회전하여 있는 측점 위치들은 반경 상에 그 방향을 잡으면 된다.

  작도과정은 흐린 연필로 가늘고 정확하게 그리고 3곡선은 색깔을 구분하여 선명히 강조하여 완성한다.

 

   (1) 외패선

 하나의 원(반경 R)이 고정되어 있고 그 주위를 바깥에서 다른 원(반경 r)이 굴러갈 때, 굴러가는 원주 상의 1점의 궤적을 외패선이라 한다.

 

  (2) 내패선

 하나의 원(반경 R)이 고정되어 있고 그 안에서 그 주위를 다른 원(반경 r)이 굴러갈 때, 그 굴러가는 원주 상의 1점과 궤적을 내패선이라 한다.

 

 

6. 현수선 (懸垂線, catenary, chainette)

  모든 개 곡선 중에서 가장 아름답다고 할 수 있는 현수선에 대하여 알아보면 현수선은 자연 가운데 가장 흔히 볼 수 있는 친숙한 자연곡선이다. 넝쿨식물의 줄기가 늘어져 있는 모습, 시골집 마당의 빨랫줄, 길게 늘어진 전깃줄, 미인을 더욱 돋보이게 하는 진주목걸이 곡선, 스님 가슴의 염주, 의젓한 불상의 의습곡선(衣褶曲線) 등이 알고 보면 바로 현수곡선의 미를 나타내고 있는 것이다.

  겉보기엔 너무나 범상하여 대단치 않게 여겨질지 모르나 실은 엄청난 진실이 작용하고 있다. 우리가 평소에 지구중력을 별로 못 느끼고 지내지만 과학에서 배워 알고 있는 엄연한 중력환경을 새삼 되새겨 볼 필요가 있다.

 

   (1) 현수선과 포물선의 비교

  포물선은 갸름한 편이고, 현수선은 풍만해 보인다.

  회장 저고리의 배래곡선 작도법 예는 AB구간과 BC구간에서 각각 완급의 포물선을 적용하고 있으나 현수선의 30°정도 경사부에 매우 잘 합치됨을 우연히 발견하였다. 한복 저고리의 곡선미 해석에 현수선의 자연미를 그 이치로 거론해 볼 수 있다.

  

  현수선의 정의를 보면 일정한 재질, 일정한 단면 굵기의 완전히 유연한 줄을 양단을 고정하고 거기에 오직 중력만이 작용할 때 그 줄이 자연스럽게 늘어 뜨려져 만들어지는 곡선이다. 이것은 바로 중력과 평형을 이루는 내적 긴장을 감추고 있으면서 겉으로 평온상태를 나타내는 최고의 안정감과 질서를 보여 주는 바 신비로운 자연곡선의 아름다움을 느끼게 되는 원리가 아닌가 생각된다.

  이 곡선의 방정식은 이미 1691년 Leibniz와 Huygens에 의해 이루어져 있다.

  그 일반식은

                   이다.

  또한 도학적인 정의로서 포물선과 밀접한 관계가 있다.

 y축에 대칭인 포물선이 x축에 따라 미끄러짐 없이 회전할 때 이 포물선의 초점이 지나가는 궤적은 현수선이 된다. 이 때의 포물선과 현수선을 모자(母子)관계에 비유하고 싶다. 잘 생긴 포물선을 어미로, 그 초점에 배태(胚胎)한 더 잘 생긴 현수선을 자식으로 일컬어도 잘못이 없을 것이다.

 

 

 

7. 대칭 (벽지문양 - 타일붙이기)

  (1) 벽지문양

  수학자에게 가장 관심 있는 벽지 문양의 특성은 이것이 규칙적인 방식으로 반복되어 평면을 완전히 채운다는 사실이다. 이런 실생활에의 예에서 양식은 벽 또는 바닥 또는 옷감 끝까지 반복된다. 수학자의 양식은 모든 방향에서 무한히 뻗어 있다.

  새로운 벽지 문양을 도안하기 위해 해야 할 모든 작업은 종이의 한 부분을 채우는 양식을 만들고 그 양식을 전체에 걸쳐 반복하는 것이다. 좀더 정확히 만하면, 격자 기판에서 시작해서 그 양식으로 특정한 하나의 디리클레 영역을 채우고, 똑같은 양식을 다른 모든 디리클레 영역에 반복하면 된다.

  설계할수 있는 벽지문양의 종류는 한계가 없다.하지만 각양식은 대칭군의 견지에서 겨우 17가지 서로 다른 종류 중 하나가 된다.

 

  (2) 격자

규칙적인 이차원 기판의 꼭지점에 배열된 점들의 집합이다. 기판은 정사각형 또는 직사각형 또는 동일한 평행 사변형이 될 수 있다.

수학적으로

 말하면, 격자의 결정적인 특징은 이동 불변성 또는 이동 대칭성을 갖고 있다는 사실이다. 이것은 평면의 이동이 전체 격자를 원래의 위치에 겹쳐 놓아서 변하지 않는 것으로 보이게 한다는 점을 의미한다.

 

  (3) 디리클레 영역(Dirichlet domain)

평면의 임의의 격자와 그 격자의 한 점에 대해서, 그 점의 디리클레 영역은 다른 어떠한 격자 점보다 그 점에 더 가까이 있는 평면의 전체 영역으로 이루어진다.

격자의 디리클에 영역은 격자의 대칭에 대한 '벽돌 모형(Brick model)'을 제공한다.

평면에 나타날 수 있는 디리클레 영역은 정확하게 다섯 가지의 서로 다른 종류가 있다.

사각형,육각형에 의해 나타내어 진다.

 

   (4) 타일 붙이기

    1. 주기적양식 => 벽지 양식의 17개 군중 하나를 대칭군으로 갖는다.

        Ⅰ) 정다각형

             1. 한가지 종류의 정다각형으로 채우기 : 3가지

                                                  (정삼각형, 정사각형, 정육각형)

             2. 두 종류 이상의 타일을 사용 : 8가지

                - 각 꼭지점을 똑같은 정다각형의 배열로 에워싼다.

                  (삼각형, 사각형, 육각형, 팔각형, 십이각형의 조합)

 

 

        Ⅱ) 불규칙적인 다각형

            1. 임의의 삼각형, 임의의 사각형 => 가지수에 한계가 없다.

            2. 임의의 오각형 => 14가지 발견

            3. 임의의 (볼록)육각형 => 3가지

            4. 일곱 또는 그 이상의 모서리를 가진 볼록 다각형을 배열해서 평면을 완전                  히 채울 수는 없다.

    Ⅱ. 비주기적 양식

         펜로스(Roger Penrose)

         : 이동 대칭이 없이 평면을 완전히 채울 수 있는 다각형을 발견.

         1) 다각형

            임의의 타일의 비주기성을 얻기 위해서는 모두 마름모꼴인 그 다각형의 각 모              서리에는 특정한 방향이 부여되어야 하고, 그 타일 붙이기는 그 방향들이 임의              의 연결에 따라 어울리도록 구성되어야만 한다.

         2) 마름모꼴에 쐐기와 V자형의 벤 자리를 추가하는 방법.

            타일 붙이기는 유한한 여러 영역이 오중 대칭을 갖고 있지만, 전체의 무한한               타일 붙이기는 그렇지 않다.

   

  (5) 오중대칭

       정오각형을 회전시키듯이 영역을 회전시켜도 변하지 않는 모습이 다시 나타난다.

 

 8. 황금비

  수학적 양식은 종종 인간의 눈이 찾아낸 특별히 아름다운 시각적 양식을 반영한다. 그 중 하나가 황금비이다. 이 수는 유클리드 원론 제Ⅵ권의 시작 부분에 언급되었다.

  황금비의 값은  인데, 이 수는 근사적으로 1.618인 무리수이다. 이것은 선분을 두 개의 작은 조각으로 나누어 긴 선분에 대한 전체 선분의 비가 짧은 선분에 대한 긴 선분의 비와 같도록 만들 때 얻게 되는 수이다.

 

 

    

    

    

 

  황금 비는 피보나치 수열과 관계가 있다.

        1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

   F(n)이 이 수열의 n번째 항을 나타내면 n이 커짐에 따라 피보나치 수열의 연속적인 항의 비는 황금 비에 가까워진다.

    

        

 

 황금 비는 연분수로 표현된다

.

 

9. 참고자료 <황금분할에 관한 예>