근대의 수학 (18C후반-19C후반)

 기하학, 대수학의 발전과 해방

 

  이 시기의 유럽은 이전의 다른 어떤 100년 간 보다도 정치, 경제상으로 눈부신 변화를 겪었다. 절대군주제를 타도한 정치혁명과 이에 따라 일어난 산업혁명, 그 뒤에 이어지는 근대자본주의의 형성 등으로 유럽의 여러 나라가 거의 산업자본주의의 시대로 접어들게 되었다. 잇따른 사회적 대변동이 학문의 내용을 변화시킨 것은 너무나 당연하다. 그리하여 천문학, 역학, 공학, 그리고 이것들과 밀접한 관계를 갖는 수학에 변화가 온 것이다. 이러한 과학 분야의 대약진이 수학에 반영되지 않을 수 없었고, 새로운 시대에 걸맞는 새로운 근대 수학의 방향이 결정되었다.

  특히 사상의 측면에서는 "인간해방"의 정신을 모체로 하여 자유로운 사고가 태어났고, 이것이 수학에 반영되어 사고의 자유성이라는 기본 입장이 마련되는 계기가 되었다.

   

◈19세기의 수학자◈

1. 가우스(Johann Karl Friedrich Gauss, 1777-1855)

  "수학의 황제"라 불리울 만큼 놀랄만한 수학적 재능을 지닌 가우스는 18세기와 19세기를 동시에 대표할 수 있다. 그는 19세기의 가장 위대한 수학자이며 아르키메데스, 뉴턴과 더불어 3대 수학자로 꼽힌다. "수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이다."라는 유명한 말을 남겼다.

  20세에 쓴 헬름스태트 대학에서의 박사학위 논문에서, 최초로 대수학의 기본정리를 일반적으로 증명하였다. 대수학의 기본정리란 "복소계수를 가지는 n(>0)차원 대수방정식은 적어도 하나의 복소근을 가진다." 라는 것으로 일반적인 대수방정식 f(z)=0에서 z를 x+iy로 치환한다는 착상에서 출발한다.

  가우스의 가장 위대한 단행본은 현대 정수론에 있어서 기본적으로 중요한 책인 <수론 연구>이다. 이 책에서는 정다각형의 작도법이 나오고, 합동에 관한 간편한 표기법이 실려있으며 수학의 엄밀성을 주창하였다.

  또한 가우스는 1812년에 초기하급수에 관한 논문에서 최초로 급수의 수렴성을 체계적으로 고찰하였다. 곡면론에 관한 가우스의 걸작<일반곡면론>은 1827년에 발간되었는데 공간에서의 곡면에 관한 기하학의 연구를 통해 미분기하학의 기초를 확립 하였다. 또한, 비유클리드 기하학의 존재성을 인식하고는 있었으나 칸트의 공간관때문에 미발표 되었다.

  그 밖에 복소수 용어를 최초로 사용하였고 타원 함수론에도 기여했으며 해석학의 엄밀화 작업을 시도하기도 하였다.

 

2. 푸리에(Jesn B. J. Fourier, 1768-1830)

  응용수학자로 열의 흐름에 관한 실제적인 문제를 다루었다.

  임의의 함수는 구간 [-∏,∏]에서 사인과 코사인함수의 합으로 분해될 수 있다고 주장하였다. 이것이 바로 삼각급수 또는 푸리에 급수이다.

  푸리에 급수 :

  논리적 엄밀성이 결핍되었다는 비판을 받기도 하였지만 푸리에 급수는 음향학, 광학, 전기역학, 열역학 및 다른 여러 분야를 연구하는 데 매우 중요하다는 것이 입증되었으며, 조화해석학, 미분방정식의 해법등에 중요한 역학을 하고 있다.

 

3. 코시(A. L. Cauchy, 1789-1857)

  "함수론의 아버지"인 코시는 함수의 개념을 오늘날 우리가 배우는 형태로까지 확장시켰다. 그는 미적분학의 기본개념중 하나인 '연속'의 개념을 무한이나 극한이라는 애매한 개념을 사용하지 않고 이른바 'ε-δ법'이라는 수학적 방법으로 엄밀하게 정의하였다.

  또한 미분방정식론에 기여하였으며 무한급수의 수렴과 발산에 관한 연구, 무한소에 관한 수학적 정의 시도, 평균치 정리 증명, 미분과적분의 역산관계 증명, 연속함수의 적분가능성 증명등의 업적을 세웠다. 행렬식 이론에 있어서는 '만일 A와 B가 모두 n×n행렬이면 ??AB?? =??A????B??이다.'라는 유용한 정리를 처음 증명하였으며, 방정식 ??A-I??=0을 행렬 A의 특성방정식이라고 부름으로써 1840년에 '특성'이라는 말을 행렬이론에 도입하였다.

 

4. 아벨(N. H. Abel, 1802-1829)

  타원함수에 관한 연구를 하였고 가환군의 개념을 도입하였다. 무한급수에도 기여했는데 수렴판정법과 멱급수에 관한 정리가 그것이다. 또 그는 일반적인 5차 이상의 대수방정식을 대수적으로 푸는 것이 불가능함을 증명하였다.

 

5. 갈로아(E. Galois, 1811-1832)

  갈로아 이론의 도입으로 방정식론에 근본적인 개혁을 가져왔다. "군(group)"이란 용어를 최초로 이용한 군론의 창시자이다. 아벨의 가환군의 개념을 이용하여 5차이상의 대수방정식이 근의공식을 가질 수 없음을 증명하였다.

  갈로아 이론에 의해 임의의 각의 3등분 문제, 입방배적문제가 자와 콤파스만으로 작도되지 않는 이유와 정 n각형이 자와 콤파스로 작도되기 위한 필요충분조건을 설명하였다.

 

6. 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859)

  푸리에 급수가 수렴하기 위한 조건의 연구로 함수개념을 일반화시키는 작업을 하였다. 연속성과 함수의 현대적 정의를 최초로 했다.

 

  19세기 전반에 매우 주목할 만하고 혁명적인 두 가지 수학적 발전이 일어났다.

  첫째는 종래의 유클리드 기하학과는 다르며 그 자체에 모순이 없는 기하학 즉, 비유클리드 기하학의 탄생이며, 둘째는 1843년 실수체계의 잘 알고있는 대수와는 다른 새로운 대수적 구조의 출현이 그것이다.

 

◈ 비유클리드 기하학 ◈

  

  기원전 300년경 유클리드는 "원론"이란 책에서 그의 모든 정리에 기초한 다섯가지의 공준을 규정했다.

1. 임의의 두 점을 연결하는 한 직선을 그릴 수 있다.

2. 유한직선은 양 방향으로 연속적으로 한 직선으로 연장할 수 있다.

3. 임의의 주어진 점을 중심으로 하고 임의로 주어진 둘째점을 통과하는 원을 작도할 수 있다.

4. 모든 직각은 서로 같다.

5. 한 직선이 두 직선과 만나서 같은 쪽에 있는 내각의 합이 두 직각보다 작을 때, 두 직선을

   무한히 연장하면 내각들의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 두 직선은 만난다.   

  

  이 중 다섯번째 공준은 다른 네개의 공준과 눈에 띄는 매우 큰 차이점이 있음을 알 수 있다.

  오랜 세월을 거치면서 제안되거나 묵시적으로 가정되었던 평행선 공준과 동치인 대용물들은 다음과 같다.

  (1) 한 평면에는 모든 곳에서 서로 같은 거리를 유지하는 한 쌍의 직선이 존재한다.

  (2) 주어진 직선 위에 있지 않은 임의의 주어진 점을 통과하면서 그 주어진 선과 평행인 유일한 직선을 작도할 수 있다.

  (3) 합동은 아니지만 닮은꼴인 한 쌍의 삼각형이 존재한다.

  (4) 사변형에서 한 쌍의 대변이 서로 같고 제 3의 변과의 이웃각들이 각각 직각이면, 다른 두 각도 또한 직각이다.   

  (5) 사변형에서 세 내각이 직각이면, 넷째 내각도 또한 직각이다.

  (6) 세 내각의 합이 두 직각과 같은 삼각형이 적어도 하나 존재한다.    

  (7) 60°보다 작은 임의의 각이 내부에 있는 임의의 점을 통과하면서 그 각의 양변 모두와 교차하는 직선을 언제나 작도할 수 있다.

  (8) 같은 직선위에 있지 않은 임의의 세 점을 통과하는 원이 존재한다.

  (9) 삼각형의 넓이에 대한 상한이 존재하지 않는다.  

  이중 오늘날 중등학교 교과서에서 가장 일반적으로 선호되는 것은 위의 (2)이다.

 

  1733년에 이르러서야 비로소 평행공준에 관한 최초의 실제적이며 과학적인 연구 논문이 이탈리아 예수교 목사인 사케리(GIorlamo Saccheri, 1667-1733)에 의하여 발표되었다.

  이 논문에서 사케리는 평행공준이 필요없는 유클리드 원론의 처음 28개 명제를 받아들였다. 이 정리들을 가지고 각 A와 각B가 직각이고 변 AD와 BC의 길이가 같은 사변형ABCD를 연구하기 시작했다. 대각선 AC와 BD를 긋고, 간단한 합동정리를 이용하여 쉽게 각 D와 각C의 크기가 같음을 보였다. 그러면 이 두 각이 모두 직각이거나 예각이거나 둔각일 세가지 가능성이 있다. 이 세가지 가능성을 사케리는 직각가설, 예각가설, 둔각가설이라 불렀다. 그의 연구계획은 예각가설이나 둔각가설을 가정하면 모두 모순에 이른다는 것을 보이는 것이었다. 그러면 귀류법에 의하여 직각가설이 성립하게 된다. 사케리는 직선의 길이는 무한하다는 사실을 가정함으로써 둔각의 전제를 제거하였다. 그러나 예각의 전제에 대한것은 미해결의 상태였다.

  사케리는 모순을 찾아낼 수 없었음을 인정했다는 점에서 오늘날 비유클리드 기하학의 발견자로 인정받을 수 있는 것이다.   

  그 후 오랜 노력에도 불구하고 수학자들은 예각의 전제하에서는 아무런 모순을 발견할 수 없었다. 어떤 적당한 기본 가정들과 예각의 전제를 합친 모임으로부터 전개된 기하학은 그와 같은 기본 가정과 직각의 전제를 합친 모임으로부터 전개된 유클리드 기하학과 마찬가지로 무모순임이 알려지게 된다.  

  비유클리드 기하학의 무모순성의 결과들은 평행선 공준 문제의 해결 이상의 훨씬 더 광범위한 영향을 끼쳤다. 즉, 기하학을 전통적인 틀에서 해방시킨 것이다.

 

  

▶ 사영기하학

 

  몽주(G. Monge, 1746-1818)의 화법기하학은 퐁슬레(J. V. Poncelet, 1788-1867)에 의해 이론적으로 체계화됨으로써 근대 사영기하학이 탄생되었다.

  몽주의 화법기하학에서의 기본적인 입장은 첫째, 공간적인 물체를 평면위의 도형으로 나타내는 것, 즉 3차원의 공간 도형을 2차원의 도화지 위에 묘사하는 방법과, 둘째, 공간도형의 모양이나 위치에 관한 명제를 찾아내는 것을 들 수 있다. 이는 직접 도형 그 자체를 구체적으로 어김없이 표현하기 위한 실용적이고 기술적인 기하학이었고, 다른 어떠한 기하학보다 직관적이었다.

  퐁슬레의 사영기하학은 몽주의 기술적, 직관적인 화법기하학에 비하면 순전히 이론적 구조를 지닌다. 다시 말하면 사영기하학은 실용적인 의미를 떠난 순수 수학으로 발전하였던 것이다. <도형의 사영적 성질에 관한 이론>에서 그는 "사영기하학의 정리가 하나 있으면 그 안에서 점과 직선의 위치를 바꾼 정리도 성립한다."는 유명한 '쌍대의 원리'를 내놓았다.

  가령, 평면위에 하나의 원뿔곡선이 있다고 하자. 한 점 P를 지나 이 원뿔곡선과 두 점 A, B에서 만나는 직선을 그었을 때, BC:AC=BP:AP를 만족하는 점 C를 두 점 A,B에 관한 '조화공역점'이라고 한다. 이 점 C의 자취는 한 개의 직선 p가 된다. 이때, 직선 p를 점 P의 '극선', 점 P를 '극' 이라고 부른다. 따라서 평면위에 한 개의 원뿔곡선이 있으면, 점에는 그 극선을 대응시키고, 직선에는 그 극을 대응시킴으로써 점과 직선과의 사이에 1대1의 대응이 이루어지도록 할 수 있다. 이 대응에 의하여 한 점에 모이는 직선에는 일직선 상의 점이 대응하고, 일직선 상의 점에는 한 점에 모이는 직선이 대응한다. 따라서 사영기하학의 정리가 한 개 있으면 거기서 점과 직선의 역할을 바꾼 정리가 또 하나 성립한다. 이것이 퐁슬레가 발견한 '쌍대의 원리'인 것이다.

 

▶ 로바체프스키(N, I, Lobachevski, 1793-1856)

 

  실제로 비유클리드 기하학에 대한 체계적인 전개를 최초로 발표한 사람은 러시하의 수학자 로바체프스키였다.

  로바체프스키의 평행선 공준은 직선위에 존재하지 않는 주어진 한 점을 통과하는, 주어진 직선에 평행한 직선이 적어도 두개가 존재한다는 것이다. 그는 또한 "삼각형의 내각의 합은 2직각보다 작고, 각변의 길이가 커질 수록 작아지고, 길이가무한대로 되면 마침내 내각의 합은 0이 되고 만다."는 공리를 내세웠다. 이는 곡면위의 현상으로 생각한다면 될 것이다.

 

▶ 리만(Georg Friedrich Riemann,1826-1866)

  

  1854년 리만은 직선의 무한성을 버리고 단순히 한계가 없음을 가정하고, 나머지 공준을 약간만 조정하면 또 다른 모순 없는 비유클리드 기하학이 둔각가설로 부터 전개될 수 있다는 사실을 보였다. 간단히 말해서 모든 직선은 직선 AB상에 존재하지 않는 점 P를 통과해서 그 직선 AB와 만난다는 구면 기하학을 다루었다. 이 기하학에 평행선이 존재하지 않는다는 것은 가능하다.

 

  이상을 정리하면 평행선에 관해 서로 상봔되는 공준을 가진 세가지 기하학이 있음을 알수 있다.

 ⑴ 유클리드 기하 : 평행선은 하나밖에 없다.  (포물기하학)

 ⑵ 로바체프스키 기하 : 평행선이 적어도 둘 있다.  (쌍곡기하학)

 ⑶ 리만 기하 : 평행선은 존재하지 않는다.   (타원기하학)

  각각 삼각형의 내각의 합은,

 ⑴ ∠A+∠B+∠C = 2∠R

 ⑵ ∠A+∠B+∠C < 2∠R

 ⑶ ∠A+∠B+∠C > 2∠R

  또 곡률을 M이라 하면,

 ⑴ M = 0

 ⑵ M < 0

 ⑶ M > 0  

  이들 세가지 기하학은 같은 방법으로 체계화된 것이 아니다. 로바체프스키의 기하학은 종합법에 의해서 형성된 것이라면 리만 기하는 해석적인 것이다. 리만의 기하학은 나머지 두 사람의 입장까지 포함하는 포괄적인 기하학인 것이다.

 

◈ 대수학의 해방◈

 

  기존의 산술대수의 5가지 공준

 1. a+b = b+a

 2. a×b = b×a

 3. (a+b)+c = a+(b+c)

 4. (a×b)×c = a×(b×c)

 5. a×(b+c) = (a×b)+(a×c)

   을 만족하지 않는 대수적 구조가 도입되었다.

▶ 헤밀턴의 사원수 : 실수의 4중 순서수(a,b,c,d)로서 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않는다.  

                     

▶ 그라스만의 다원수 : 실수의 n중 순서수 (x1,…,xn). 많은 다른 대수가 존재

▶ 캐일리의 행렬대수 : 교환법칙의 불성립

▶ 조르당 대수, 리이 대수 : 결합법칙의 불성립

▶ 모노이드, 군, 환, 정역, 체등 새로운 대수적 구조의 탄생.

 

 

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