르네상스(Renaissance)시대의 수학

                                     

   르네상스가 막을 올리는 15세기의 수학적 활동은 주로 이탈리아의 도시와 유럽의 중심 도시들인 뉴럼베르크, 빈, 프라하 등지가 중심이 되었고, 대개 산술, 대수, 삼각법 등에 관심이 집중되었다. 따라서 수학은 주로 무역, 항해, 천문학, 관측 등과 관련하여 번창하는 상업도시에서 활발하게 연구되었다.

 

 (1) 초기의 수학자와 그 업적

  니콜라스 쿠사(Nicholas Cusa 1401-1464)

  1448년 로마의 집정자가 된 그는 부수적으로만 수학을 연구 하였으나 달력개조, 원적과 일반각의 삼등분에 관한 시도 등으로 기억되고 있다 .

  포이에르 바하(Georg Von Peurbach 1423-1461)

  이탈리아에서 수학을 가르쳤으며 후일에 빈에 정착하여 그 곳에 있던 대학을 수학적 중심지로 만든 그는 산술과 천문학에 관한 몇권의 저작을 썼고 사인표를 만들었으나 이들 대부분의 작품은 생전에는 출간되지 몼했다.

  요한 뮐러(Johann Muller 1436-1476)

  레기오몬타누스(Regiomontanus)로 더 잘 알려진 그는 천문학과 무관하게 수학적으로 전개된 평면 및 구면 삼각법에 관한 유럽 최초의 체계적인 해설서인 <삼각법의 모든 것, De triangulis omnimodis>을 작성하였고, 천문대를 세우고, 인쇄소를 만들고, 천문학에 관한 몇 편의 논문을 썼다.

 <삼각법의 모든 것>은 다섯 권의 책으로 이루어져 있으며 그중 처음 두 권은 평면삼각법에 관한 것이고 나머지 세권은 구면삼각법에 관한 것이다. 이 논문에서 그는 주어진 세 조건을 만족하는 삼각형을 결정하는 흥미로운 문제를 다루고 있다. 여기에 이용한 삼각함수는 사인과 코사인 뿐이었으나 후에 레기오몬타누스는 탄젠트표를 계산했으며 또 다른 책에서는 네 변이 주어진 순회사변형을 작도하는 문제에 대수와 삼각법을 응용하였다.

  슈케(Nicolas Chuquet 1484-1500)

  15세기 가장 뛰어난 프랑스 수학자인 그는 <수의 과학의 있어서의 세 부분, Tripatty en la Science des nombres> 으로 알려진 산술에 관한 논문을 썼는데 그것은 19세기 까지 출간되지 못했었다. 3부로 되어 있는 이 논문의 제 1부는 유리수의 계산에 관한 내용을 담고 있고 제 2부는 무리수의 계산에 관한 내용이고 제 3부는 방정식론으로 되어 있다. 슈케는 양과 음의 정수지수를 모두 인정하였고 부분적으로 약어대수를 이용하였다.

  파치올리(Luca Pacioli 1445-1509)

  이탈리아의 수도사인 그는 1494년, 그 당시 가장 실용적인 표준서인 <산술.기하.비 및 비례요약집, Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita>(간단히 <요약집>이라 부름)을 출간하였다. <요약집>에서는 피보나치의 <산반서>에나오는 내용보다 더 중요한 것은 거의 없지만 훌륭한 표기를 이용하고 있다는 데 특징이 있다. <요약집>의 산술부분은 기본연산에 대한 계산법과 제곱근을 구하는 방법으로부터 시작 되며 대수부분은 2차 방정식과그 방정식을 초래하는 많은 문제를 싣고 있다. 그의 대수는 약어 대수로서 더하기에 대해서는 p, 빼기에 대해서는 m, 미지수에 대해서는 co로, 에 대해서는 ce로, 에 대해서는 cu, 에 대해서는 cece등으로 약식기호를 사용하였다. 기하부분에 있어서는 흥미로운 것이 없으며 대수가 단지 기하문제의 해를 구하는 데 이용되고 있다.

 

 (2) 초기의 산술

  르네상스와 더불어 교육에 대한 관심이 높아지고 상업활동이 엄청나게 증가하면서 산술에 관한 많은 대중교과서가 등장하기 시작했다.

  최초로 인쇄된 산술책은 <트레비소, Treviso Arithmetic>이다. 이것은 익명으로 주로 쓰는 방법, 수를 계산하는 방법, 조합이나 교역에의 응용등을 다루고 있다. 이탈리아에서 영향력이 있었던 책은 보르기(Piero Borghi)가 쓴 상업상술서였다. 상업관례에 관한 많은 정보를 다루고 있는 이 책은 오늘날 우리가 행하는 긴 나눗셈이 처음으로 소개되고 있다. 독일에서는 비드만의 산술책, 야곱 쾌벨의 산술책,그리고 독일에 가장 영향을 끼쳤고 평판이 좋았던 아담 리제(Adam Riese, 1489-1559)의 산술책등이 있다. 영국에서 주목할 만한 초기의 산술책은 톤스톨의 산술책, 또 16세기에 영국에서 가장 영향력이 있었던 교과서 저자인 로버트 레코드(Robert Recorde, 1510-1558)가 저술한 <기술의 기본>이라는 학생과 교수 사이에 대화 형식으로 쓰여져 29판 까지 인쇄된 산술책 등이 있다.

 

 

 (3) 기호대수의 서막

  로버트 레코드는 산술책 이외에도 천문학, 기하학, 대수, 의학 등에 관한 많은 책을 썼으며 특히 1557년에 출간된 <지혜의 숯돌>이라는 이름이 붙은 대수책을 펴내며 처음으로 오늘날의 등식기호를 사용하였다.  또 하나의 현대 대수기호인 근호기호 가 1525년 크리스토퍼 루돌프가 쓴  <미지수>라는 대수책에서 소개되었다.

  16세기 독일의 가장 위대한 수학자는 슈티벨(Michasel Stifel, 1486-1567)이다. 그가 1544년에 출간한 <산술총서>는 3부로 나뉘어져 있고 각각 유리수, 무리수, 대수에 관한 내용을 담고 있다. 제 1부에서 슈티벨은 등차수열과 등비수열을 연관시키는 이점을 지적하면서 거의 한 세기 뒤의 로그의 발명의 전조를 보여 주었고, 또 17제곱 이하의 모든 이항계수를 구했다. 제 2부는 본질적으로 유클리드의 <원론>제 X권의 해설서이고 제 3부는 방정식을 다루고 있다. 방정식의 음근은 무시되었지만 기호 +, -, 들이 이용되고 있고, 종종 미지수가 문자로서 표현되고 있다.

 

 (4) 3차 및 4차 방정식

  16세기의 가장 극적인 수학적 성취는 아마도 이탈리아 수학자들의 3차 및 4차방정식의 대수적 해법의 발견일 것이다.

  카르다노의 <위대한 술법>에 실려있는 3차 방정식 의 해법의 본질은 다음과 같다.

                   

여기서 를 다음과 같이

                     ,  

으로 놓으면  로 주어진다. 이 마지막 두 방정식을 a, b에 관하여 연립하여 풀면

                    

이고 따라서 가 구해진다.

  3차 방정식이 풀려진 후 오래지 않아 카르다노의 제자인 페라리가 4차 방정식의 대수적 해법도 발견되었다. 페라리의 4차 방정식을 요약하면 다음과 같다.

                    

에서

                    

                   

그러므로 임의의에 대해서

                   

                               

이제 우변의 방정식이 완전제곱꼴이 되도록 를 취하자. 그 경우는 다음과 같은 때이다.

                    

결국 이 방정식은  에 관한 3차 방정식이고, 따라서 이것은 이미 밝혀진 3차방정식 해법으로 풀 수 있다.

 

 (5) 16세기의 수학자들

  지롤라모 카르다노(Girolamo Cardano, 1501-1576)

  카르다노는 수학사에서 가장 기묘한 성격이면서 또 당시의 가장 뛰어나고 다재다능한 인물 중의 한 사람이었다. 산술, 천문학, 물리학, 의학등 여러 분야에 많은 저작중 가장 위대한 저작은   <위대한 술법>으로서 이책은 완전히 대수에 관한 최초의 라틴어 논문이었다. 여기서 주목할 만한 내용은 방정식의 음근을 다루고 있다는 것과 허수와 관련된 계산에 약간의 관심을 보여 주고 있다는 것, 그리고 임의의 차수의 방정식의 근의 근사값을 구하는 미완성된 방법도 실려 있다. 또한 상습 도박꾼이었던 그는 확률에 관한 몇 가지 흥미로운 문제를 다룬 도박사의 안내서도 썼다.

  폰타나(Nicolo Fontana, 1499-1557)

  폰타나는 그의 별명인 타르탈리아(Tartaglia)로 더 많이 알려져 있다. 3차 방정식에 대한 그의 연구를 살펴본 바와 같이 그는 재능있는 수학자였다. 그는 처음으로 수학을 포술학에 응용했던 것으로 믿어지며, 16세기에 가장 훌륭한 이탈리아 산술서를 쓴 것으로 간주되는데 그것은 당시의 수치계산과 통산관세에 관한 충분한 논의를 싣고 있는 두 권의 논문으로 되어 있다.

  프랑수아 비에트(Francois Viete, 1540-1603)

  라틴어 이름인 비에타(Vieta)라고도 부르는 그는 삼각법, 대수, 기하학 등에 관하여 많은 저술을 하였다. 그 중 가장 중요한 것을 살펴보면

     <수학요람, Canon mathematicus seu ad triangula (1579)>

     <해석학 서설, In artem analyticam isagoge (1591)>

     < 보(補) 기하학, Supplementum geometriae (1593)>

     <방정식의 수학적 해법, De numerosa potestaum resolutiae (1600)>

     <방정식의 재겁토와 수정, De aeguationum recognitione et emendatione (1615-사후 출간)>

등이 출간되었다.

  위의 작품 중 <수학 요람>은 삼각법에 관한 내용을 싣고 있다. 이 책은 서유럽에서 처음으로 여섯 개의 삼각함수 모두를 이용하여 체계적으로 평면삼각형과 구면 삼각형을 푸는 밥법을 개발한 것으로 추정된다. 그 외에도 이 책은 해석삼각법에 관하여 상당한 관심을 보이고 있다.  또한비에트의 가장 유명한 책인 <해석학 서설>은 기호대수의 발전에 커다란 기여를 하고 있다. 여기서 미지량을 나타낼 때는 모음을, 기지량을 나타낼 때는 자음을 이용하는 예를 소개하였고, 동일한 문자에 적당한 조건을 븥여서 멱을 표현 했다. 또 +, - 기호를 사용했으며 등식에 근을 연속적으로 근사시키는 체계적인 과정이 소개되고 있다. 또한 비에트의 사후에 출간된 논문은 방정식론에 관한 많은 내용을 담고 있다. 비에트는 5차 다항식까지의 다항식의 계수들을 근에 관한 대칭함수로 표현하는 법을 알고 있었다. 또한 그는 고대의 3대 작도문제 중 각의 삼등분과 배적의 문제가 3차 방정식의 해법에 의존한다는 것을 보임으로써 그 문제들의 연구에 진일보를 가져왔다.

  

  16세기의 그 밖의 수학자로 클라우비아, 카탈디, 스테빈이 있었고 수학에 공헌한 천문학자 중에

가장 빼어난 인물로 폴란드의 니콜라스 코페르니쿠스(Nicolas Copernicus, 1473-1543)를 들수 있다. 그의 연구 결과는 삼각법의 개선을 필요로 하는 것이었고 그 자신도 삼각법에 관한 논문을 썼다. 또 코페르니쿠스의 제자인 레티쿠스(Gorg Joachim Rhaeticus. 1574-1546) 역시 훌륭한 수학자로 두 개의 삼각표를 만들었으며 처음으로 삼각함수를 직각삼각형의 변의 비들로 정의하였다.

 

  16세기의 수학적 성취를 요약하면, 기호대수가 훌륭하게 시작되었고 인도-아라비아 솟자 계산이 표준화되었으며 소수(小數)가 개발되었고 3차 및 4차방정식이 풀렸으며 방정식론이 일반적으로 진보되었다. 또한 음수가 받아들여졌고 삼각법이 완성되고 체계화되어 몇 가지 훌륭한 표가 만들어졌다. 그리하여 다음 세기의 놀라운 진보를 위한 무대가 만들어졌던 것이다.