미분방정식을 이용한 가축의 출하시기 조절


   동물의 개체군의 증가나 유행병의 확산 속도 또는 암세포의 증식 속도를 다루거나, 사회에서 정보의 확산이나 광고의 영향 등에 관련된 문제이다. 1840년경 벨기에의 수학자 겸 생물학자인 P.F. Verhulst는 여러 국가의 인구를 예측하는 수학공식을 연구하였다.

그에 따르면 대체적으로 생물 개체수 eq001 에 관한 개체수의 변화 방정식은

eq002

를 따른다고 한다. 여기서 eq003 는 상수이다. 이 방정식을 로지스틱(logistic)방정식이라 한다. 상수 eq004 는 평균 출산율을 나타내고 상수 eq005 는 비례상수이다. 위 방정식의 경우 항 eq006 는 개체수의 출생에 관한 증가를 나타내고 항 eq007 은 억제, 경쟁 등, 즉 사망률에 관한 항을 나타낸다. 이 방정식은 박테리아나 원생동물과 같은 종의 성장유형을 예측하는데 아주 정확한 것으로 알려져 있다.

 

   지금, 여기서 우리는 eq008 가 어떤 양돈 농가에서 기르고 있는 돼지의 마리 수라 하자. 이 방정식을 이용하여 돼지의 출하 시기를 알아 보자. eq009 eq010이라 한다. 그러면 방정식은

eq011

이 된다. 여기서 현재의 돼지의 수 값을 여러 가지 생각해보자.

이 미분방정식의 여러 가지 초기치에 대한 해곡선들은 시간이 지남에 따라 모두 일정한 값 200으로 수렴한다.

이 곡선에 따르면 처음 50마리 정도에서 시작하여 10-15개월 만에 출하하는 것이 좋다는 결론을 내릴 수 있다.